«Аналітичні і алгебро-геометричні методи математичної фізики»




Скачати 160,65 Kb.
Дата конвертації07.06.2018
Розмір160,65 Kb.


Національна академія наук України

Інститут математики

Цикл наукових праць

«Аналітичні і алгебро-геометричні методи математичної фізики»

представлених на здобуття Державної премії України в галузі науки і техніки



  1. БОГОЛЮБОВ Микола Миколайович, член-кореспондент Російської академії наук, доктор фізико-математичних наук, професор, головний науковий співробітник відділу механіки Математичного інституту ім. В. А. Стєклова РАН, м. Москва.

  2. КОВАЛЕВСЬКИЙ Олександр Альбертович, доктор фізико-математичних наук, професор, заступник директора з наукової роботи, завідувач відділу нелінійного аналізу Інституту прикладної математики і механіки НАН України, м. Донецьк.

  3. КОЧУБЕЙ Анатолій Наумович, доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник, завідувач відділу нелінійного аналізу Інституту математики НАН України, м. Київ.

  4. МИКИТЮК Ігор Володимирович, доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник, завідувач відділу нелінійного математичного аналізу Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, м. Львів.

  5. ПРИКАРПАТСЬКИЙ Анатолій Карольович, доктор фізико-математичних наук, професор, професор кафедри економічної кібернетики та інноватики Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка, м. Дрогобич.

  6. РЕБЕНКО Олексій Лукіч, доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач відділу математичної фізики Інституту математики НАН України, м. Київ.

  7. САМОЙЛЕНКО Валерій Григорович, доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедри математичної фізики Київського національного університету імені Тараса Шевченка, м. Київ.

  8. ТЕДЕЄВ Анатолій Федорович, доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник, завідувач відділу рівнянь математичної фізики Інституту прикладної математики і механіки НАН України, м. Донецьк.

  9. ШИШКОВ Андрій Євгенович, доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач відділу рівнянь з частинними похідними Інституту прикладної математики і механіки НАН України, м. Донецьк.

Реферат

Київ – 2014

Цикл наукових праць “Аналітичні і алгебро-геометричні методи математичної фізики” складається з 12 монографій і 92 наукових статей, які опубліковані протягом періоду 1975 – 2012 рр. Статті циклу опубліковано у реферованих високо рейтингових наукових виданнях, з них 64 – у англомовних закордонних журналах, 22 – у російськомовних закордонних виданнях і 6 – у провідних математичних журналах України. 90 статей циклу опубліковано у журналах з імпакт-фактором, серед яких 38 – у виданнях, імпакт-фактор яких становить від 0.959 до 1.971. Цитування статей, які увійшли до даного циклу праць, становить: 4316 (згідно Google Scholar Citation), 1589 (згідно Mathscinet), 1037 (згідно Scopus), h-індекс роботи становить: 19 (згідно Google Scholar Citation), 8 (згідно Scopus). За темою циклу захищено 11 докторських і 27 кандидатських дисертацій.

Мета циклу наукових праць полягає в дослідженні актуальних задач для динамічних систем сучасної математичної і теоретичної фізики і в побудові нових ефективних методів аналізу розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними та їх застосуванням при вивченні конкретних математичних моделей.

Праці циклу присвячено розвитку таких актуальних напрямів сучасної математичної фізики, як:

– аналітичні методи теорії граничних задач для нелінійних еліптичних і параболічних рівнянь, у тому числі тих, які виникають при вивченні різноманітних фізичних явищ;

– теорія еволюційних рівнянь та загальні граничні задачі;

– методи неархімедового аналізу і неархімедової стохастики та їх застосування;

– аналіз інтегровності нелінійних динамічних систем математичної фізики;

– аналітичні методи нескінченновимірного аналізу та їх застосування в квантовій теорії поля і статистичній механіці.

Основні наукові результати циклу полягають в наступному:

розроблено теорію G-збіжності нелінійних еліптичних операторів задач Діріхле і Неймана у змінних областях, теорію слабких і ентропійних розв’язків нелінійних еліптичних рівнянь вищого порядку із слабко інтегровними даними;

запропоновано нові підходи та отримано нові критичні показники в теорії початково-крайових задач для квазілінійних параболічних рівнянь з джерелом, градієнтним стоком і неоднорідною щільністю;

описано еволюцію носіїв розв’язків параболічних рівнянь довільного порядку, дано повний опис локалізованих і нелокалізованих режимів, що сингулярно загострюються, побудовано теорію суперсингулярних розв’язків для півлінійних рівнянь другого порядку з виродженим абсорбційним потенціалом;

розроблено теорію основних класів псевдодиференціальних рівнянь (еліптичні та параболічні рівняння, аналог хвильового рівняння) над полем р-адичних чисел і загальними локальними полями, закладено основи теорії р-адичних стійких розподілів, неархімедових стохастичних диференціальних рівнянь та р-адичного нескінченновимірного аналізу;

на основі сучасних і розвинутих авторами ефективних симплектично-геометричних, Лі-алгебраїчних, диференціально-геометричних та спектральних методів досліджено важливі аспекти інтегровності широкого класу нелінійних динамічних систем математичної фізики, зокрема, тих, що використовуються в якості математичних моделей різноманітних фізичних явищ і процесів;

розроблено новий метод геометричного квантування цілком інтегровних гамільтонових динамічних систем на многовидах з точною симплектичною структурою, який дає змогу описати спектр відповідної квантової системи в термінах групи характерів фундаментальної групи відкритого симплектичного підмноговиду, який визначається інтегралами системи;

розвинуто квантову теорію евклідової матриці розсіювання; рівноважну статистичну механіку нескінченних класичних систем з кулонівською взаємодією описано в рамках моделі евклідової квантової теорії поля і побудовано термодинамічний граничний перехід її фізичних характеристик; отримано нові результати математичних досліджень квантових систем ангармонічних кристалів;



на основі розвитку аналітичних методів теорії граничних задач для нелінійних еліптичних і параболічних рівнянь авторами циклу праць досліджено питання про існування, якісні властивості та збіжність розв’язків нелінійних еліптичних рівнянь і варіаційних нерівностей другого і вищого порядків. Значну увагу приділено вивченню питання про G-збіжність диференціальних операторів, що відіграє важливу роль в теорії усереднення крайових задач в областях складної структури, яка, як відомо, знаходить широкі застосування при моделюванні багатьох фізичних процесів і явищ, що відбуваються у сильно неоднорідних середовищах і вивчаються, наприклад, у радіофізиці, гідродинаміці, теорії пружності, теорії композитних матеріалів. В працях циклу розроблено абстрактну теорію G-збіжності нелінійних монотонних операторів зі змінною областю визначення, яку застосовано для вивчення G-збіжності нелінійних еліптичних операторів задач Неймана у змінних областях, встановлення сильної G-компактності послідовності нелінійних операторів задач Неймана у перфорованих областях, доведення теорем про збіжність розв’язків відповідних задач Неймана і варіаційних нерівностей з перешкодами, побудови G-граничного оператора для перфорованих областей періодичної структури. З використанням модифікованого методу Мозера доведено обмеженість розв’язків нелінійних еліптичних варіаційних нерівностей другого і вищого порядку з коефіцієнтами, що вироджені за просторовою змінною, і мають достатньо регулярні праві частини;

в рамках розвитку -теорії нелінійних еліптичних рівнянь другого і вищого порядків отримано низку нових важливих результатів про існування і властивості слабких, ентропійних і правильних ентропійних розв’язків задачі Діріхле, зокрема, у випадку рівнянь другого порядку знайдено загальні інтегральні умови на праві частини рівнянь, які гарантують граничну сумовність розв’язків та їх похідних, доведено теореми про існування і апріорні властивості розв’язків нелінійних еліптичних рівнянь з виродженою коерцитивністю. Розвинуто теорію слабких та ентропійних розв’язків задачі Діріхле для нелінійних еліптичних рівнянь вищого порядку з -правими частинами і виродженими (за просторовою змінною) коефіцієнтами, які задовольняють умову вагової підсиленої коерцитивності;

для квазілінійних вироджених параболічних рівнянь розглянуто задачу Неймана в областях з некомпактною межею, для якої отримано точні оцінки максимуму розв’язку за часовими і просторовими змінними. Ці оцінки є точними за порядком і носять двосторонній характер. Для цієї ж задачі у випадку рівняння з нелінійним джерелом отримано умови існування та неіснування глобальних за часом розв’язків. Ці умови залежать від параметрів нелінійності і геометрії області, яка задовольняє умови ізопериметричного типу. У випадку областей типу безмежного параболоїда зазначені умови відповідають критичним показникам типу Фуджити. Крім того, для згаданого вище класу рівнянь встановлено оцінку розв’язку поблизу точки загострення. Отримана оцінка має універсальний характер, тобто не залежить від початкових даних. Крім того, для двічі виродженого параболічного рівняння з градієнтним стоком, за умови виконання певних співвідношень між параметрами дифузії і градієнтного стоку, що характеризується критичним показником, отримано критерій спадання до нуля тотальної маси розв’язку і дано її точні оцінки для великих значень часу;

досліджено задачу Коші для двічі виродженого параболічного рівняння з неоднорідною щільністю. Знайдено нові критичні показники, що пов'язані з поведінкою щільності на нескінченності, та дано критерій існування глобального за часом носія або наявності феномена вибуху носія за кінцевий час. Для виродженого параболічного рівняння з неоднорідною щільністю та нелінійним джерелом доведено нові теореми типу Фуджити;

для квазілінійних параболічних рівнянь високого порядку досліджено еволюцію носіїв узагальнених розв’язків, зокрема, вперше отримано точні умови, що гарантують ефект тимчасової затримки розповсюдження носія розв’язку, стартової зворотної еволюції межі носія розв’язку, формування так званих „мертвих зон” розв’язків і появи ефекту миттєвої компактифікації носія розв’язку;

для спеціального класу нелінійних вироджених недивергентних параболічних рівнянь четвертого порядку, що описують течію тонких капілярних плівок, вперше отримано локальні енергетичні та ентропійні оцінки сильних розв’язків, на основі яких встановлено скінченність швидкості розповсюдження їх носіїв. Для зазначених рівнянь у випадку наявності додаткових нелінійних членів, що описують нелінійну абсорбцію, конвекцію, пряму та зворотну дифузію, побудовано сильні розв’язки і вивчено локальну та глобальну за часом асимптотики їх носіїв. Досліджено також асимптотичну поведінку при великих значеннях часу розв’язків задачі Коші-Неймана для рівняння Каана-Хілліарда, яке описує еволюцію локальної концентрації одного з компонентів в бінарному розплаві металів, отримано оцінки, які характеризують різні можливі сценарії процесу відповідного розділення фаз у такому розплаві;

для загальних квазілінійних параболічних рівнянь довільного порядку вивчено граничні задачі із граничними даними, які сингулярно загострюються в скінченний момент часу. Розвинуто нові інтегральні не пов’язані з бар’єрною технікою методи дослідження асимптотичних властивостей розв’язків в околі моменту часу сингулярного загострення і дано точний опис локалізованих сингулярних граничних режимів для різних класів рівнянь, встановлено точні оцінки геометрії та розмірів зон сингулярності розв’язків. Для нелокалізованих граничних режимів із загостренням встановлено точні оцінки розповсюдження хвилі сингулярності. Побудовано теорію суперсингулярних розв’язків для півлінійних еліптичних і півлінійних параболічних рівнянь типу дифузії–сильної абсорбції з виродженим на деяких многовидах абсорбційним потенціалом, зокрема, встановлено точні умови на характер виродження, які гарантують нерозповсюдження сингулярностей вздовж многовиду виродження потенціалу;

започатковано і розвинуто теорію еволюційних рівнянь із дробовими похідними за часом, яка набула значної актуальності в зв’язку з фізичними застосуваннями (аномальна дифузія у фрактальних середовищах). Зокрема, побудовано розв´язок задачі Коші для рівняння зі сталими коефіцієнтами, а для загального випадку доведено теорему єдиності. Розвинуто метод параметриксу для рівнянь зі змінними коефіцієнтами та систем рівнянь;

розвинуто математичну теорію еволюційних рівнянь із похідними розподіленого порядку та більш загальними операторами типу дробового диференціювання за часовою змінною, яка виникла у зв’язку з появою в фізиці невпорядкованих систем моделей ультра-повільної дифузії з логарифмічним зростанням середньоквадратичного відхилення частки, що дифундує;

започатковано теорію абстрактних операторно-диференціальних рівнянь із дробовими похідними, яка у подальшому була розвинута багатьма математиками;

побудовано теорію задачі Коші для параболічних псевдодиференціальних рівнянь із квазіоднорідними символами, яка стала першою аналітичною конструкцією розривних марківських процесів;

створено метод абстрактних граничних умов у теорії розширень симетричних операторів – загальний опис розширень, який у застосуваннях до диференціальних операторів формулюється в термінах умов на межі області, в особливих точках, тощо. Подальший розвиток і застосування цього методу здійснювались багатьма математиками різних країн, і на сьогодні він є загальновживаним для опису та дослідження розширень, які є необхідними для повного опису багатьох операторів квантової механіки;

розроблено ефективний операторно-функціональний підхід до дослідження повної інтегровності і побудови гамільтонової структури нелінійних динамічних систем, який застосовано для вивчення широкого класу нелінійних динамічних систем математичної фізики та побудови їх розв’язків у аналітичному вигляді. Використовуючи розвинутий авторами градієнтно-голономний алгоритм дослідження прямої проблеми класифікації інтегровних нелінійних динамічних систем, знайдено у явному вигляді всі симплектичні структури узагальненої ієрархії гідродинамічних систем типу Рімана та їх важливих для застосувань модифікацій. На основі алгебро-геометричних методів для цієї ієрархії описано так звані скінченно-породжені інваріантні ідеали та відповідні їм скінченновимірні зображення алгебр диференціювань у формі Лакса. Розкрито структуру прихованих симетрій і встановлено залежність між інтегровністю відповідних потоків на спеціальних ко-алгебрах Лі із умовою Пуасоновості та спеціальною D-структурою на них, яка при певних умовах еквівалентна запропонованій школою Л.Д.Фаддєєва дуальній R-структурі. Цю ж методику побудови редукованих динамічних систем на основі теореми Марздена-Вайнстейна ефективно застосовано до розв’язання проблеми єдиного опису гамільтонового формалізму класичних рівнянь Максвелла та релятивістської умови Лоренца для потенціальної 4-вектор-функції. На основі розвитку спектральної теорії конгруентності диференціальних операторів та узагальнення диференціально-геометричної теорії Ходжа, що запропонована в класичних працях І.В. Скрипника, отримано важливі результати з теорії класифікації інтегровних багатовимірних нелінійних динамічних систем на функціональних многовидах та описано спеціальні класи зв’язностей типу Картана з умовами нульової кривини на інтегральних підмноговидах розв’язків і ефективно розв’язано важливу задачу про класифікацію інтегровних гамільтонових потоків на многовидах Грасмана;

вперше застосовано метод симплектичної редукції та відображення моменту для обчислення ко-рангів інваріантних вироджених бігамільтоновіх структур, що пов’язані з сімейством симплектичних структур на многовиді з локально-вільною дією групи Лі симетрій G. Розроблено метод редукції, який дозволяє звести дослідження бігамільтонової структури на алгебрі G-інваріантних функцій на ко-дотичному розшаруванні однорідного простору групи Лі G до аналогічної задачі на многовиді з локально-вільною дією групи Лі G симетрій. Розроблено новий метод побудови інваріантних поляризацій (структур Коші-Рімана) для геометричного квантування цілком інтегровних гамільтонових систем на основі вивчення частот, які якісно описують траєкторію динамічної системи на інваріантних торах. Застосовано метод гамільтонової редукції для побудови келерових структур на ко-дотичних розшаруваннях однорідних просторів груп Лі, які інваріантні відносно нормалізованого геодезичного потоку, та класифікації гіпер-келерових структур на ко-дотичних розшаруваннях ермітових симетричних просторів компактних груп Лі;

вперше побудовано евклідові поля для ферміонів і записано евклідову дію для моделей Юкави і квантової електродинаміки; запропоновано операторний підхід до розв’язання проблеми усунення ультрафіолетових розбіжностей, який ґрунтується на проективно-ітеративному методі розв’язанні некоректно-поставлених задач. Розвинуто новий підхід до побудови кластерних розкладів для кореляційних функцій нескінченних систем статистичної механіки, що ґрунтується на застосуванні інтегралів за мірою Пуассона та її властивості нескінченної подільності.

Сформульовані вище результати мають важливе значення для розвитку теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними та її застосувань до дослідження математичних моделей різноманітних фізичних явищ і процесів в техніці, що дозволяє об’єднати наукові праці претендентів в сумісний цикл наукових праць. Цей цикл об’єднує також те, що в працях усіх претендентів приділено значну увагу вивченню широкого кола конкретних математичних моделей, які використовуються у природознавстві і техніці.

До циклу праць включено такі монографії авторів:

1. Ковалевский А.А., Скрыпник И.И., Шишков А.Е. Сингулярные решения нелинейных эллиптических и параболических уравнений. – Киев: Наукова думка, 2010. – 499 с.

2. Митропольский Ю.А., Боголюбов Н.Н. (мл.), Прикарпатский А.К., Самойленко В.Г. Интегрируемые динамические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты.– Киев: Наук. думка, 1987.– 296 с.

3. Петрина Д.Я., Иванов С.С., Ребенко А.Л. Уравнения для коэффициентных функций матрицы рассеяния. – М.: Наука, 1979. – 269 с.

4. Прикарпатский А.К., Микитюк И.В. Алгебраические аспекты интегрируемости нелинейных динамических систем на многообразиях. – Киев: Наукова думка, 1991. – 287 с.

5. Ребенко О.Л. Основи сучасної теорії взаємодіючих квантових полів. – Київ: Наукова думка, 2007. – 538 с.

6. Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analytic Methods in the Theory of Differential and Pseudo-Differential Equations of Parabolic Type. – Basel: Birkhäuser, 2004. – 400 p.

7. Kochubei A.N. Pseudo-Differential Equations and Stochastics over Non-Archimedean Fields, Marcel Dekker, New York, 2001. – 320 p.

8. Mykytyuk I.V. Invariant Kahler Structures on the Cotangent Bundle of Symmetric Spaces and Reduction. Reviews in Mathematics and Mathematical Physics. – Cambridge Scient. Publ. – 2005. -- Vol. 12. – 96 p.

9. Prykarpatsky A.K., Mykytiuk I.V. Algebraic integrability of nonlinear dynamical systems on manifolds. Classical and quantum aspects. Kluwer Academic Publishers, 1998. – 554 p.

10. Prykarpatsky A.K., Taneri Ufuk, Bogolubov N.N. Quantum Field Theory with Application to Quantum Nonlinear Optics. – World Scientific Publishing Company, 2002. – 132 p.



11. Prykarpatsky A.K., Blackmore D., Samoylenko V.Hr. Nonlinear dynamical systems of mathematical physics: spectral and symplectic integrability analysis. Publisher: World Scientific Publishing Company Incorporated, 2011. – 542 p.

12. Rebenko O.L. Theory of Interacting Quantum Fields, Monograph. – De Gruyter Studies in Mathematics. – 2012. – V. 39. – 584 p.


База даних захищена авторським правом ©uchika.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка