Інтеграл та його застосування



Скачати 18,23 Kb.
Дата конвертації25.01.2019
Розмір18,23 Kb.

Інтеграл та його застосування

  • Застосування
  • визначеного
  • інтеграла
  • Обчислення
  • площ
  • плоских
  • фігур
  • Обчислення
  • об'ємів тіл
  • Обчислення
  • відстані
  • за відомим
  • законом зміни
  • швидкості
  • Обчислення
  • кількості
  • електрики
  • та кількості
  • теплоти
  • Обчислення
  • роботи
  • змінної
  • сили та
  • потужності
  • Застосування
  • в економіці
  • й техніці

Інтеграл виник з практичної потреби знаходити площі неплоских фігур. Найбільший внесок у вивченні інтегрального числення вніс Архімед.

Інтеграл виник з практичної потреби знаходити площі неплоских фігур. Найбільший внесок у вивченні інтегрального числення вніс Архімед.

Одного разу, прийшовши із рибалки, Архімед захотів визначити найбільш точно площу поверхні риби.

Розбивши поверхню риби на прямокутники, він знайшов їх площі, причому чим більшою була кількість прямокутників, тим точнішим було значення площі.

Розбивши поверхню риби на прямокутники, він знайшов їх площі, причому чим більшою була кількість прямокутників, тим точнішим було значення площі.

Так і виникло поняття інтеграла, із яким ми будемо знайомитися на протязі наступних уроків.

Так і виникло поняття інтеграла, із яким ми будемо знайомитися на протязі наступних уроків.

Саме слово “інтеграл” придумав Бернуллі у1690р.(від латинського слова Integro – відновлювати або від слова Integеr – цілий). Символ інтеграла був уведений Лейбніцем у 1675році (перша буква латинського слова Summa).

Із історії інтеграла


V-IV

III


XVII

У XVII ст. Йоганном Кеплером (1951-1963рр.), який відкрив закони руху планет, було успішно здійснено першу спробу розвинути ідеї Архімеда. Кеплер обчислював площі плоских фігур і обємів тіл, спираючись на ідею розкладання фігури і тіла на нескінченну кількість нескінченно малих частин. З цих частин у результаті додавання складалася фігура, площа (об'єм) якої відома і яка дає змогу обчислити площу (об'єм) шуканої.

У XVII ст. Йоганном Кеплером (1951-1963рр.), який відкрив закони руху планет, було успішно здійснено першу спробу розвинути ідеї Архімеда. Кеплер обчислював площі плоских фігур і обємів тіл, спираючись на ідею розкладання фігури і тіла на нескінченну кількість нескінченно малих частин. З цих частин у результаті додавання складалася фігура, площа (об'єм) якої відома і яка дає змогу обчислити площу (об'єм) шуканої.

У творах “Нова астрономія” (1609) та “Стереометрія винних бочок” (1615) Й.Кеплер обчислив ряд площ (площу еліптичного сектора, яка входить у формулювання другого закону Кеплера) та обємів різних тіл обертання. Ці дослідження продовжив італійський математик Бонавертуро Кавальєрі (1598-1647рр.)

У творах “Нова астрономія” (1609) та “Стереометрія винних бочок” (1615) Й.Кеплер обчислив ряд площ (площу еліптичного сектора, яка входить у формулювання другого закону Кеплера) та обємів різних тіл обертання. Ці дослідження продовжив італійський математик Бонавертуро Кавальєрі (1598-1647рр.)

На відміну від Кеплера Кавальєрі. Перетинаючи фігуру (тіло) паралельними прямими (площинами), вважав їх позбавленими будь-якої товщини, але додавав ці лінії. До історії математики увійшов так званий принцип Кавальєрі, за допомогою якого обчислювали площі і об'єми. Цей принцип дістав теоретичне обґрунтування пізніше за допомогою інтегрального числення.

На відміну від Кеплера Кавальєрі. Перетинаючи фігуру (тіло) паралельними прямими (площинами), вважав їх позбавленими будь-якої товщини, але додавав ці лінії. До історії математики увійшов так званий принцип Кавальєрі, за допомогою якого обчислювали площі і об'єми. Цей принцип дістав теоретичне обґрунтування пізніше за допомогою інтегрального числення.

Ідеї Кеплера, Кавальєрі та інших учених стали тим ґрунтом, на якому Ньютон і Лейбніц відкрили інтегральне числення.

Іссак Ньютон

Іссак Ньютон

Готфілд Вігельм фон Лейбніц

Розвиток інтегрального числення продовжили Л.Ейлер та П.Л. Чебишов (18211894рр.), який розробив способи інтегрування деяких класів ірраціональних функцій.

Розвиток інтегрального числення продовжили Л.Ейлер та П.Л. Чебишов (18211894рр.), який розробив способи інтегрування деяких класів ірраціональних функцій.

Сучасне означення інтеграла як границі інтегральних сум належить О.Коші. Символ було введено Лейніцем. Знак нагадує розтягнуту літеру S (першу літеру латинського слова Summa – “сума”). Термін “інтеграл ” був запропонований у 1960 році Й. Бернуллі, учнем Лейбніц.

Значний внесок у вивчення поняття інтеграла зробили українські математики М.В.Остроградський (1801-1862рр.), В.Я.Буняковський (1804-1889рр.), Д.О.Граве (1863-1939рр.), М.П.Кравчук (1892-1942рр.).

Криволінійна трапеція

Ми добре вміємо обчислювати площі прямокутника, трикутника, трапеції, паралелограма, довільного многокутника, а також площі круга та його частин. Виникає питання: як обчислити площу плоскої фігури, обмеженої будь-якою кривою? Виявляється, що розв'язування такої задачі можливе за певних умов, якщо плоска фігура, яку ми розглядаємо – КРИВОЛІНІЙНА ТРАПЕЦІЯ.

Означення:

Означення:

Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком неперервної функції y=f(x), яка не змінює знак на відрізку[a; b], прямими x=a, x=b і відрізком [a; b].

Які із наведених фігур є криволінійними трапеціями

Знайдемо площу криволінійної трапеції. Для цього розіб'ємо відрізок

Знайдемо площу криволінійної трапеції. Для цього розіб'ємо відрізок

[a; b] на n рівних частин точками а=x0a; b] однакові і дорівнюють

Побудуємо на кожному з відрізків [xk-1;xk] як на основі прямокутники з висотою, що дорівнює значенню f(xk-1) функції у лівому чи у правому кінці відрізка. Площа кожного такого прямокутника дорівнює

а площа східчастого многокутника, утвореного всіма прямокутниками, дорівнює сумі площ прямокутників:

Якщо n→∞, то ∆х=(b- a)/ n →0, і оскільки функція у= f(x) неперервна, то східчаста фігура буде все менше відрізнятися від криволінійної трапеції. А тому площа S криволінійної трапеції буде все менше відрізнятися від Sn, тобто Sn ≈S.

При досить великих n ця наближена рівність справджується з будь-якою точністю. Тому природно за площу криволінійної трапеції, за означенням взяти границю площі східчастого многокутника за умови n→∞, тобто

При досить великих n ця наближена рівність справджується з будь-якою точністю. Тому природно за площу криволінійної трапеції, за означенням взяти границю площі східчастого многокутника за умови n→∞, тобто

У курсі математичного аналізу доведено, що для будь-якої неперервної функції у= f(x) (не обов'язково невід'ємної) така границя існує і дорівнює певному числу

Визначений інтеграл

Границю називають визначеним інтегралом функції

у= f(x) від a до b і позначають (читають так:

”інтеграл від a до b еф від ікс де ікс”)

  • а - нижня межа інтегрування;
  • b - верхня межа інтегрування;
  • - знак визначеного інтеграла
  • - підінтегральна функція;
  • - підінтегральний вираз;
  • х - змінна інтегрування.

Формула Ньютона - Лейбніца

Це і є формула Ньютона – Лейбніца, яка показує, що значення визначеного інтеграла на відрізку [a; b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції, коли x=b i х=a.

Різницю F(b) - F(a) позначають . Тому попередню рівність можна записати так:

Обчислювання площ плоских фігур

Обчислення площі трапеції за допомогою інтеграла

Обчислення площі трапеції за допомогою інтеграла

Обчисліть площу криволінійної трапеції

Яка із зафарбованих фігур не є криволінійною трапецією

Площу якої фігури можна обчислити за формулою

Обчислити площу фігури, заштрихованої на малюнку

Обчислити інтеграл


І група

ІІ група

ІІІ група

І група

ІІ група

ІІІ група

ІНТЕГРАЛ В ЕКОНОМІЦІ

Загальний прибуток за час t1 можна знайти за формулою:


ІНТЕГРАЛ В ЕКОНОМІЦІ

Середня довжина шляху, який пролітають птахи, перетинаючи деяку фіксовану ділянку, обчислюється за формулою:

Середня довжина шляху, який пролітають птахи, перетинаючи деяку фіксовану ділянку, обчислюється за формулою:


ІНТЕГРАЛ В БІОЛОГІЇ

ІНТЕГРАЛ В ПОБУТІ

Щоб каша була смачною, потрібно таке відношення води і круп:

ВЕЛИЧНІСТЬ ІНТЕГРАЛ

Іще одну вершину підкорили:

Його величність інтеграл

Для себе ми відкрили.

І від тепер об’єми тіл

І площі всіх фігур

Підвладні нам.

Низький уклін тобі

Величність ІНТЕГРАЛ!

К І Н Е Ц Ь



Поділіться з Вашими друзьями:


База даних захищена авторським правом ©uchika.in.ua 2019
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка