Інтеграл виник з практичної потреби знаходити площі неплоских фігур. Найбільший внесок у вивченні інтегрального числення вніс Архімед



Скачати 16,11 Kb.
Дата конвертації25.01.2019
Розмір16,11 Kb.

Інтеграл виник з практичної потреби знаходити площі неплоских фігур. Найбільший внесок у вивченні інтегрального числення вніс Архімед.

  • Інтеграл виник з практичної потреби знаходити площі неплоских фігур. Найбільший внесок у вивченні інтегрального числення вніс Архімед.
  • Одного разу, прийшовши із рибалки, Архімед захотів визначити найбільш точно площу поверхні риби.

Розбивши поверхню риби на прямокутники, він знайшов їх площі, причому чим більшою була кількість прямокутників, тим точнішим було значення площі.

  • Розбивши поверхню риби на прямокутники, він знайшов їх площі, причому чим більшою була кількість прямокутників, тим точнішим було значення площі.

Так і виникло поняття інтеграла, із яким ми будемо знайомитися на протязі наступних уроків.

  • Так і виникло поняття інтеграла, із яким ми будемо знайомитися на протязі наступних уроків.
  • Саме слово “інтеграл” придумав Бернуллі у1690р.(від латинського слова Integro – відновлювати або від слова Integеr – цілий). Символ інтеграла був уведений Лейбніцем у 1675році (перша буква латинського слова Summa).

КРИВОЛІНІЙНА ТРАПЕЦІЯ

  • Ми добре вміємо обчислювати площі прямокутника, трикутника, трапеції, паралелограма, довільного многокутника, а також площі круга та його частин. Виникає питання: як обчислити площу плоскої фігури, обмеженої будь-якою кривою? Виявляється, що розв'язування такої задачі можливе за певних умов, якщо плоска фігура, яку ми розглядаємо – КРИВОЛІНІЙНА ТРАПЕЦІЯ.

Означення: Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком неперервної функції y=f(x), яка не змінює знак на відрізку[a; b], прямими x=a, x=b і відрізком [a; b].

  • Означення: Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком неперервної функції y=f(x), яка не змінює знак на відрізку[a; b], прямими x=a, x=b і відрізком [a; b].

ДЕЯКІ ПРИКЛАДИ КРИВОЛІНІЙНИХ ТРАПЕЦІЙ

Знайдемо площу криволінійної трапеції. Для цього розіб'ємо відрізок

  • Знайдемо площу криволінійної трапеції. Для цього розіб'ємо відрізок
  • [a; b] на n рівних частин точками а=x0a; b] однакові і дорівнюють
  • Побудуємо на кожному з відрізків [xk-1;xk] як на основі прямокутники з висотою, що дорівнює значенню f(xk-1) функції у лівому чи у правому кінці відрізка. Площа кожного такого прямокутника дорівнює
  • а площа східчастого многокутника, утвореного всіма прямокутниками, дорівнює сумі площ прямокутників:
  • Якщо n→∞, то ∆х=(b- a)/ n →0, і оскільки функція у= f(x) неперервна, то східчаста фігура буде все менше відрізнятися від криволінійної трапеції. А тому площа S криволінійної трапеції буде все менше відрізнятися від Sn, тобто Sn ≈S.

При досить великих n ця наближена рівність справджується з будь-якою точністю. Тому природно за площу криволінійної трапеції, за означенням взяти границю площі східчастого многокутника за умови n→∞, тобто

  • При досить великих n ця наближена рівність справджується з будь-якою точністю. Тому природно за площу криволінійної трапеції, за означенням взяти границю площі східчастого многокутника за умови n→∞, тобто
  • У курсі математичного аналізу доведено, що для будь-якої неперервної функції у= f(x) (не обов'язково невід'ємної) така границя існує і дорівнює певному числу

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

  • Границю називають визначеним інтегралом функції
  • у= f(x) від a до b і позначають (читають так:
  • ”інтеграл від a до b еф від ікс де ікс”)
  • а - нижня межа інтегрування;
  • b - верхня межа інтегрування;
  • - знак визначеного інтеграла
  • - підінтегральна функція;
  • - підінтегральний вираз;
  • х - змінна інтегрування.

ОБЧИСЛЕННЯ ВІДСТАНІ ЗА ВІДОМИМ ЗАКОНОМ ЗМІНИ ШВИДКОСТІ

  • S - шлях, переміщення;
  • v- швидкість;
  • t1 - час, зафіксований у початковий момент руху;
  • t2- час, зафіксований у кінцевий момент руху;

Задача: Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю, яка змінюється за законом v=2t+1(м/с). Знайти шлях, який пройшло тіло за інтервал часу від t1=1с до t2=3с.

  • Задача: Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю, яка змінюється за законом v=2t+1(м/с). Знайти шлях, який пройшло тіло за інтервал часу від t1=1с до t2=3с.
  • Розв'язання: Запишемо загальну формулу

ФОРМУЛА НЬЮТОНА - ЛЕЙБНІЦА

  • Це і є формула Ньютона – Лейбніца, яка показує, що значення визначеного інтеграла на відрізку [a; b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції, коли x=b i х=a.
  • Різницю F(b) - F(a) позначають . Тому попередню рівність можна записати так:
  • Застосування
  • визначеного
  • інтеграла
  • Обчислення
  • площ
  • плоских
  • фігур
  • Обчислення
  • об'ємів тіл
  • Обчислення
  • відстані
  • за відомим
  • законом зміни
  • швидкості
  • Обчислення
  • кількості
  • електрики
  • та кількості
  • теплоти
  • Обчислення
  • роботи
  • змінної
  • сили та
  • потужності
  • Застосування
  • в економіці
  • й техніці

ОБЧИСЛЮВАННЯ ПЛОЩ ПЛОСКИХ ФІГУР

ОБЧИСЛЕННЯ ПЛОЩІ ТРАПЕЦІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ ІНТЕГРАЛА

ОБЧИСЛЕННЯ ПЛОЩІ ТРАПЕЦІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ ІНТЕГРАЛА

ОБЧИСЛІТЬ ПЛОЩУ КРИВОЛІНІЙНОЇ ТРАПЕЦІЇ

ОБЧИСЛІТЬ ПЛОЩУ КРИВОЛІНІЙНОЇ ТРАПЕЦІЇ

ОБЧИСЛЕННЯ РОБОТИ ЗМІННОЇ СИЛИ ТА ПОТУЖНОСТІ

  • A- робота A- робота
  • F- сила N -потужність

Задача. Обчислити роботу, яку треба виконати, щоб викачати воду з ями глибиною 4м., що має квадратний переріз зі стороною 2м. Густина води ρ=103кг/м3.

  • Задача. Обчислити роботу, яку треба виконати, щоб викачати воду з ями глибиною 4м., що має квадратний переріз зі стороною 2м. Густина води ρ=103кг/м3.
  • Розв'язання: Спрямуємо вісь Ох вздовж діючої сили. Значення сили F(x), що діє на переріз прямокутного паралелепіпеда площею 4 м2, визначається вагою шару води, що знаходиться вище від цього перерізу. Отже

ОБЧИСЛЕННЯ КІЛЬКОСТІ ЕЛЕКТРИКИ ТА КІЛЬКОСТІ ТЕПЛОТИ

  • Q - електричний заряд Q- кількість теплоти
  • I - сила струму C - теплоємність

Задача: Знайти кількість електрики, що проходить через поперечний переріз провідника за 10 с, якщо сила струму змінюється за законом I(t)=(4t+1)(A)

  • Задача: Знайти кількість електрики, що проходить через поперечний переріз провідника за 10 с, якщо сила струму змінюється за законом I(t)=(4t+1)(A)
  • Розв'язання:

ЗАСТОСУВАННЯ ІНТЕГРАЛА У ФІЗИЦІ Й ТЕХНІЦІ

  • Приклад 1. Експериментально встановлено, що продуктивність праці робітника наближено виражається формулою
  • f(t)=-0,0033t2-0,089t+20,96, де t- робочий час у годинах. Обчислити обсяг випуску продукції за квартал, вважаючи робочий день восьмигодинним, а кількість робочих днів у кварталі - 62.
  • Розв'язання: Обсяг випуску продукції протягом зміни є первісною від функції, що виражає продуктивність праці. Тому
  • Протягом кварталу обсяг випуску продукції становитиме:

Приклад 2. Експериментально встановлено, що залежність затрати бензину автомобілем від швидкості на 100 км шляху визначається формулою Q=18-0,3v+0,003v2, де

  • Приклад 2. Експериментально встановлено, що залежність затрати бензину автомобілем від швидкості на 100 км шляху визначається формулою Q=18-0,3v+0,003v2, де
  • Визначити середню затрату бензину, якщо швидкість руху 50-60 км/год.
  • Розв'язання: Середня затрата бензину становить:
  • Відповідь: Автомобіль на 100 км. шляху, рухаючись зі швидкістю 50-60км/год., витрачає в середньому 10,6 л. бензину.

КРОСВОРД

Опрацювати §24 Запитання і завдання для повторення 1-4 ст.131

  • Опрацювати §24 Запитання і завдання для повторення 1-4 ст.131
  • Виконати №64 (1), 2)) ст.149
  • М.І. Шкіль, З.І. Слєпкань, О.С.Дубинчук
  • “Алгебра і початки аналізу”



Поділіться з Вашими друзьями:


База даних захищена авторським правом ©uchika.in.ua 2019
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка