Математичний аналіз



Сторінка1/3
Дата конвертації25.01.2019
Розмір0,56 Mb.
  1   2   3
Розділ “Математичний аналіз”

Поняття множини. Дії над множинами. Множина дійсних чисел. Верхня і нижня грань. Модуль дійсного числа. Поняття функції. Класифікація функцій.

Поняття границі функції. Критерій існування границі. Властивості границь. Границя монотонної функції. Перша чудова границя. Нескінченно малі функції. Нескінченна границя і нескінченно великі функції. Границя послідовності. Критерій Коші збіжності послідовностей.

Поняття неперервної функції. Дії над неперервними функціями. Одностороння неперервність. Точки розриву функції та їх класифікація.

Поняття неперервної функції. Властивості функцій, неперервних на відрізку. Обернена функція і її неперервність. Загальна степенева, показникова і логарифмічна функції та їх неперервність. Друга чудова границя.

Задачі, які приводять до поняття похідної. Означення похідної, її геометричний та механічний зміст. Основні правила диференціювання функцій. Похідні елементарних функцій.

Односторонні похідні. Нескінченні похідні. Приклади недиференційовних функцій. Диференціал функції. Похідні і диференціали вищих порядків.

Теореми Ролля, Лагранжа і Коші. Умови постійності і монотонності функції. Максимум і мінімум функції. Опуклість кривої і точки перегину.

Розкриття неозначеностей. Правило Лопіталя. Асимптоти. Повне дослідження функції. Наближені методи обчислення коренів рівнянь.

Поняття первісної функції і невизначеного інтеграла. Таблиця основних інтегралів. Основні методи інтегрування функцій. Інтегрування раціональних функцій.

Інтегрування ірраціональних функцій. Інтегрування тригонометричних функцій.

Площа криволінійної трапеції. Поняття визначеного інтеграла і необхідна умова його існування. Суми Дарбу та їх властивості. Теорема Дарбу. Критерій інтегрованості функції за Ріманом.

Класи інтегрованих функцій. Властивості визначеного інтеграла. Формула Н’ютона-Лейбніця. Визначений інтеграл із змінною верхньою границею інтегрування. Формули заміни змінної і інтегрування за частинами для визначеного інтеграла.

Невластиві інтеграли з нескінченними проміжками інтегрування.

Невластиві інтеграли від необмежених функцій.

Площа криволінійної трапеції і криволінійного сектора. Об’єм тіла обертання. Спрямлювані криві. Площа поверхні обертання. Центр ваги.

Поняття ряду і його збіжності. Геометрична прогресія і гармонічний ряд. Найпростіші властивості збіжних рядів. Достатні ознаки збіжності додатних рядів.

Знакозмінні ряди. Критерій Коші збіжності ряду. Абсолютно та умовно збіжні ряди. Властивості абсолютно і умовно збіжних рядів.

Збіжність і рівномірна збіжність функціональних послідовностей і рядів. Властивості рівномірно збіжних функціональних рядів і послідовностей. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду.

n – вимірний евклідів простір. Замкнені і відкриті множини евклідового простору. Поняття області. Границя та неперервність функцій багатьох змінних.

Частинні похідні, диференційовані функції і диференціали. Похідна за напрямом і градієнт функції. Дотична площина і нормаль до поверхні. Геометричний зміст диференціала.

Похідні складних функцій. Частинні похідні і диференціали вищих порядків.

Неявні функції однієї змінної. Неявні функції багатьох змінних. Неявні функції, означувані системою рівнянь. Відображення площини на площину.

Поняття подвійного інтеграла та умови його існування. Класи інтегрованих за Ріманом функцій. Властивості подвійних інтегралів. Обчислення подвійних інтегралів. Застосування подвійних інтегралів. Заміна змінних у подвійних інтегралах.

Поняття потрійного інтеграла та умови їх існування. Класи інтегрованих за Ріманом функцій. Властивості потрійних інтегралів. Обчислення потрійних інтегралів. Застосування потрійних інтегралів. Заміна змінних у потрійних інтегралах.

Існування і єдиність розв’язку диференціального рівняння першого порядку. Геометрична інтерпретація задачі інтегрування диференціального рівняння. Особливі розв’язки.

Рівняння в повних диференціалах. Інтегрувальний множник. Рівняння, не розв’язані відносно похідної.

Основні поняття. Теорема існування і єдиності розв’язку. Диференціальні рівняння, інтегровні в квадратурах. Зниження порядку диференціального рівняння.

Теорема існування і єдиності розв’язку. Лінійні однорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння. Вільні і вимушені коливання. Резонанс.

Огляд основних понять і фактів теорії комплексних чисел. Границя послідовності. Числові ряди.

Поняття функції комплексної змінної. Множини точок у площині. Границя функції. Неперервні функції. Функціональні ряди. Степеневі ряди.


Розділ “Диференціальні та інтегральні рівняння”

Предмет і завдання теорії диференціальних рівнянь. Основні задачі, які приводять до диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння як моделі різних явищ і процесів дійсності.

Основні поняття теорії диференціальних рівнянь: означення диференціального рівняння; звичайне диференціальне рівняння; порядок диференціального рівняння; розв’язок диференціального рівняння; задача Коші; загальний розв’язок і загальний інтеграл диференціального рівняння, інтегральна крива; рівняння з відокремлюваними змінними та його розв’язання. Диференціальні рівняння у шкільному курсі математики.

Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші. Загальний вигляд диференціального рівняння І-го порядку. Основні поняття (загальній частинні та особливі розв’язки, початкові умови, задача Коші). Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші для диференціального рівняння І-го порядку.

Геометрична інтерпретація розв’язку задачі Коші. Поле напрямів, ізокліни. Ламані Ейлера.

Найпростіші типи диференціальних рівнянь І-го порядку, які інтегруються в квадратурах: рівняння з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, у повних диференціалах та рівняння, що зводяться до них.

Обвідна однопараметричної сім’ї кривих. *Особливі точки. Особливі розв’язки диференціального рівняння. [Ортогональні та ізогональні траєкторії].

Диференціальні рівняння І-го порядку, не розв’язані відносно похідної. Диференціальні рівняння І-го порядку, не розв’язані відносно похідної та методи їх розв’язування. Рівняння Клеро і Лагранжа.

Наближені методи розв’язування диференціальних рівнянь. Методи наближеного розв’язування диференціальних рівнянь І-го порядку.

Диференціальні рівняння вищого порядку. Загальний вигляд диференціального рівняння n-го порядку. Основні поняття (загальний і частинні розв’язки, початкові умови, задача Коші). Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші для диференціального рівняння n-го порядку (без доведення).

Найпростіші диференціальні рівняння вищого порядку, які інтегруються в квадратурах або допускають зниження порядку.

Застосування степеневих рядів до наближеного розв’язування диференціальних рівнянь.

Лінійні диференціальні рівняння вищого порядку.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку (властивості частинних розв’язків, визначник Вронського, критерій лінійної незалежності частинних розв’язків рівняння, структура загального розв’язку, формула Остроградського-Ліувілля).

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння n-го порядку. Структура загального розв’язку. Метод варіації довільних сталих.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння вищого порядку із сталими коефіцієнтами. Метод знаходження загального розв’язку. Метод невизначених коефіцієнтів знаходження частинного розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння із сталими коефіцієнтами.

Застосування лінійних диференціальних рівнянь до вивчення коливних процесів. Вільні та вимушені коливання. Резонанс.

Системи диференціальних рівнянь. Основні означення і поняття. Нормальні системи диференціальних рівнянь. [Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші для нормальної системи диференціальних рівнянь.]

Системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами. Системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами, методи їх розв’язування та застосування.

Основні властивості розв’язків систем диференціальних рівнянь. Стійкість розв’язків диференціальних рівнянь. Стійкість розв’язків лінійної системи. Стійкість лінійної системи зі сталими коефіцієнтами. Критерій Рауса-Гурвіца. Стійкість за першим наближенням. Функції Ляпунова.

Застосування звичайних диференціальних рівнянь до розв’язування задач науки та техніки. Поняття математичної моделі. Обчислювальний експеримент.

Диференціальні рівняння з частинними похідними. Основні поняття теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними. Диференціальне рівняння 1-го порядку та його загальний розв’язок. Класифікація диференціальних рівнянь 2-го порядку. Початкові та крайові умови. Деякі задачі для диференціальних рівнянь частинними похідними.


Розділ “Комплексний аналіз”

Множина комплексних чисел як метричний простір. Поняття комплексних чисел. Дії над комплексними числами. Геометричне зображення комплексного числа (інтерпретація Гауса). Тригонометрична та показникова форми комплексного числа. Модуль і аргумент комплексного числа. Дії з комплексними числами, поданими в тригонометричній і показниковій формах. Добування кореня n-го степеня з комплексного числа.

Множина комплексних чисел як повний метричний простір. Комплексна площина і розширена комплексна площина та їх геометрична інтерпретація. Сфера Рімана. Поняття околу точки (скінченної та нескінченно віддаленої) в метричному просторі .



Каталог: sites -> bdpu.org -> files
files -> Пояснювальна записка машинознавство І основи виробництва вивчаються на 1-5 курсах Інституту фізико-математичної І технологічної освіти
files -> Бердянськ 2007 (06) ббк 74я5
files -> Пояснювальна записка фахове вступне випробування з української мови є не тільки перевіркою теоретичних знань І практичних навичок абітурієнтів, які здобувають освітньо-кваліфікаційний рівень спеціаліста, з усіх лінгвістичних дисциплін
files -> Міністерство освіти І науки україни бердянський державний педагогічний університет збірник тез наукових доповідей студентів бердянського державного педагогічного університету
files -> Бердянськ 2008 (06)
files -> Пояснювальна записка фахове вступне випробування з української мови є не тільки перевіркою теоретичних знань І практичних навичок абітурієнтів, які вступають до магістратури, з усіх лінгвістичних дисциплін
files -> Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни бердянський державний педагогічний університет збірник тез наукових доповідей студентів бердянського державного педагогічного університету
files -> Бердянськ 2008 (06) ббк 74я5
files -> Міністерство освіти І науки україни бердянський державний педагогічний університет збірник тез наукових доповідей студентів


Поділіться з Вашими друзьями:
  1   2   3


База даних захищена авторським правом ©uchika.in.ua 2019
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка