Реферат на тему: "Основні поняття теорії графів"




Скачати 91,56 Kb.
Дата конвертації20.08.2017
Розмір91,56 Kb.

РЕФЕРАТ

на тему:

“Основні поняття теорії графів”

Засновником теорії графів прийнято вважати математика Леонарда Ейлера (1707-1782). Теорія графів – дисципліна математична, створена зусиллями математиків, тому її виклад включає в себе і необхідні чіткі визначення.

Поняття про графи


   Для вирішення багатьох задач, може бути застосоване таке поняття, як граф.

Граф - це множина точок (вершин), які з’єднані між собою лініями, що називаються дугами або ребрами.

Приведемо приклад задачі, яка може бути розв’язана, за допомогою графів.



Задача 1:

На вечірку запрошено шестеро людей, чи може бути така ситуація,
що кожен знав тільки двох запрошених.


Р


озв’язання:
Кожного з цієї компанії зобразимо точкою, і пронумеруємо їх. Якщо двоє знайомі, то з’єднаємо їх відрізком (ребром). Виявляється, що така ситуація не тільки можлива, але й може описуватися декількома схемами.

Тобто можна сказати, що граф-це сукупність об’єктів, зв’язками між якими служать ребра.



Приклади графів з декількома вершинами та ребрами.
На малюнку 4 показаний граф з чотирма вершинами та шістьма ребрами
На малюнку 5 зображено граф з п’ятьма вершинами та двома ребрами
              

мал.4                                       мал.5

Прикладами графів можуть слугувати схеми метрополітенів, схеми шосейних чи залізничних доріг, карти, які показують зв’язки між окремими об’єктами


Задача Ейлера – як яскравий приклад задачі,

яка приводить до поняття графів

Для рішення серйозних математичних задач математик Ейлер використовував наочні головоломки. Одна з них поклала початок зовсім новій області досліджень, що виросла згодом у самостійний розділ математики - теорію графів і топологію. Особливість цієї теорії - у геометричному підході до вивчення об'єктів.

Буваючи в Кенігсберзі, прогулюючи по його набережних, Ейлер звернув увагу на оригінальне розташування семи мостів міста. Причиною цьому був вигадливий течії рукавів Прегеля, з'єднаних протокою, що охоплюють з півночі і півдня острів Кнайпхоф, а потім зливаються разом.

У підручниках зображується схема розташування мостів.

Приблизно ось така >>>


 

 

 



 

Витончена по своїй конкретності Задача семи мостів Кенігсберга була сформульована Ейлером у 1759 р. у такий спосіб: "як пройти по семи мостах, не проходячи по одному двічі".

Для рішення цієї задачі Ейлер вводить поняття «мережі» (щоназивається в наш час «графом») як безлічі непересічних ребер чи зв'язків, що з'єднують пари вершин. Ось так виглядає цей граф, якщо накласти вершини і зв'язки на карту центра нашого міста >>>>>>

 

 

Цей же граф для числа "7" у чистому виді без "підкладки". >>>

 

 


 

У кожній мережі Ейлер підраховує зв’язки, що приходять у вершини. Якщо число зв'язків непарне, таку вершину Ейлер називає «неправильною» або «дивною». Вершина з парною кількістю зв'язків – «правильна» (у першоджерелі – «мудра»). Як бачимо, усі вершини в нашій мережі з'єднують 3 чи 5 зв'язків. Отже усі вони - неправильні. Виходить, так званої безупинної «доріжки Ейлера», яка проходить через кожну вершину тільки один раз для цього числа не існує.

А в якому випадку існує така «доріжка»?

Для рішення цієї задачі Ейлер створив і довів теорему: якщо мережа має не більш двох «дивних» вершин, є принаймні один подібний шлях.



Основні теореми теорії графів

Теорія графів, як було сказано вище, – дисципліна математична, створена зусиллями математиків, тому її виклад містить у собі і необхідні строгі визначення. Отже, приступимо до організованого введення основних понять цієї теорії.

Визначення 1. Графом називається сукупність кінцевого числа точок, називаних вершинами графа, і попарно з'єднуючих деякі з цих вершин ліній, називаних чи ребрами дугами графа.


Це визначення можна сформулювати інакше: графом називається непорожня безліч точок (вершин) і відрізків (ребер), обидва кінці яких належать заданій безлічі точок.

Визначення 2. Вершини графа, що не належать жодному ребру, називаються ізольованими.

Визначення 3. Граф, що складається тільки з ізольованих вершин, називається нуль-графом.

Визначення 4. Граф, у якому кожна пара вершин з'єднана ребром, називається повним.

Визначення 5. Ступенем вершини називається число ребер, яким належить вершина.

Визначення 6. Граф, ступеня всіх k вершин якого однакові, називається однорідним графом ступеня k.

Визначення 7. Доповненням даного графа називається граф, що складається з усіх ребер і їхніх кінців, які необхідно додати до вихідного графа, щоб одержати повний граф.

Визначення 8. Граф, якому можна представити на площині в такому виді, коли його ребра перетинаються тільки у вершинах, називається плоским.

Визначення 9. Багатокутник плоского графа, що не містить усередині себе ніяких чи вершин ребер графа, називають його гранню.

Визначення 10. Шляхом від A до X називається послідовність ребер, що веде від A до X, така, що кожні два сусідніх ребра мають загальну вершину, і ніяке ребро не зустрічається більш одного разу.

Визначення 11. Циклом називається шлях, у якому збігаються початкова і кінцева точка.

Визначення 12. Простим циклом називається цикл, що не проходить ні через одну з вершин графа більш одного разу.

Визначення 13. Довжиною шляху, прокладеного на циклі, називається число ребер цього шляху.

Визначення 14. Дві вершини A і B у графі називаються зв'язковими (незв'язними), якщо в ньому існує (не існує) шлях, що веде з A у B.

Визначення 15. Граф називається зв'язковим, якщо кожні дві його вершини зв'язні; якщо ж у графі знайдеться хоча б одна пара незв'язних вершин, то граф називається незв'язним.

Визначення 16. Деревом називається зв'язний граф, що не містить циклів.

Тривимірною моделлю графи-дерева служить, наприклад, дійсне дерево з його хитромудро розгалуженою кроною; ріка і її припливи також утворять дерево, але вже плоске – на поверхні землі.

Визначення 17. Незв'язний граф, що складається винятково з дерев, називається лісом.

Визначення 13. Дерево, усі n вершин якого мають номера від 1 до n, називають деревом з перенумерованими вершинами.

Отже, ми розглянули основні визначення теорії графів, без яких було б неможливе доказ теорем, а, отже і рішення задач.



Використана література:


  1. Берж К. "Теория графов и ее применение", М., ИЛ, 1962;

  2. Зыков А. А. "Теория конечных графов", Новосибирск, "Наука", 1969;

  3. Основи вищої математики. – К., 2002.

  4. Оре О. "Графы и их применения", М. "Мир", 1965;







База даних захищена авторським правом ©uchika.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка