Рух (переміщення) фігури. Паралельне перенесення Приклад 1




Скачати 202,39 Kb.
Сторінка1/3
Дата конвертації09.06.2017
Розмір202,39 Kb.
  1   2   3
Рух (переміщення) фігури. Паралельне перенесення 

 

Приклад 1.



На рисунку зображено відрізок AB, пряма a і точка O, яка не належить ні прямій a, ні прямій AB. Кожній точці X відрізка AB поставимо у відповідність точку X1 прямої a так, щоб точки O, X і X1 лежали на одній прямій:

 Точці A відповідатиме точка A1, точці B — точка B1. Зрозуміло, що всі такі точки X1 утворюють відрізок A1B1.

Ми вказали правило, за допомогою якого кожній точці X відрізка AB поставлена у відповідність єдина точка X1 відрізка A1B1. У цьому разі кажуть, що відрізок A1B1 отримано в результаті перетворення відрізка AB.

 

Приклад 2.



На рисунку зображено півколо AB і пряма a, паралельна діаметру AB. Кожній точці X півкола поставимо у відповідність точку X1 прямої так, щоб пряма XX1 була перпендикулярна до прямої a:

 Зрозуміло, що всі такі точки X1 утворюють відрізок A1B1. Говоритимемо, що відрізок A1B1 отримано в результаті перетворення півкола AB.



 

Приклад 3.

Нехай задано деяку фігуру F і вектор . Кожній точці X фігури F поставили у відповідність точку X1 так, що :

 У результаті такого перетворення отримаємо фігуру F1. Таке перетворення фігури F називають паралельним перенесенням на вектор .

 

Узагальнимо наведені приклади.



 

Нехай задано деяку фігуру F.

Кожній точці фігури F поставимо у відповідність (співставимо) за певним правилом деяку точку.

Усі співставлені точки утворюють деяку фігуру F1.

Кажуть, що фігура F1 отримана в результаті перетворення фігури F. При цьому фігуру F1 називають образом фігури F, а фігуру F називають прообразом фігури F1.

 

Так, у прикладі 1 відрізок A1B1 є образом відрізка AB. Точку X1 називають образом точки X. Відрізок AB — це прообраз відрізка A1B1.



 

Звернемо увагу на те, що в прикладі 3 фігура F дорівнює своєму образу F1. Перетворення, описані в прикладах 1 і 2, такої властивості не мають.

 

Які ж властивості повинно мати перетворення, щоб образ і прообраз були рівними фігурами? Виявляється, що достатньо лише однієї властивості: перетворення повинно зберігати відстань між точками, тобто якщо A і Bдовільні точки фігури F, а A1 і B1 — їх образи, то має виконуватися рівність AB = A1B1.



 

Означення. Перетворення фігури F, яке зберігає відстань між точками, називають рухом (переміщенням) фігури F.

 

Якщо кожній точці X фігури F поставлено у відповідність цю саму точку X, то таке перетворення фігури F називають тотожним. При тотожному перетворенні образом фігури F є сама фігура F. Очевидно, що тотожне перетворення є рухом.



 

Ми давно використовуємо поняття «рівність фігур», хоча не давали йому строгого означення.

На те, що рух пов’язаний з рівністю фігур, вказують такі властивості руху.

Якщо перетворення є рухом, то:

           образом прямої є пряма;

           образом відрізка є відрізок, рівний даному;

           образом кута є кут, рівний даному;

           образом трикутника є трикутник, рівний даному;

           зберігаються площі многокутників.

Властивості руху підказують домовитися про таке означення.

 

Означення. Дві фігури називають рівними, якщо існує рух, при якому одна з даних фігур є образом іншої.

Запис F = F1 означає, що фігури F і F1 рівні.

 

Якщо існує рух, при якому фігура F1 є образом фігури F, то обов’язково існує рух, при якому фігура F є образом фігури F1. Такі рухи називають взаємно оберненими.



 

Зауваження. З п’ятого класу ми під рівними розуміли такі фігури, які збігалися при накладанні. Термін «накладання» інтуїтивно зрозумілий, і в нашому уявленні він пов’язаний з накладанням реальних об’єктів. Але геометричні фігури не можна накласти в буквальному розумінні цього слова. Тепер накладання фігури F на фігуру F1 можна розглядати як рух фігури F, при якому її образом буде фігура F1.

 

Термін «рух» також асоціюється з певною фізичною дією: зміною положення тіла без деформації. Саме з цим пов’язана поява цього терміна в математиці. Проте в геометрії предметом дослідження є не процес, який відбувається в часі, а лише властивості фігури та її образу.



 

Те, що на останньому розглянутому рисунку фігури F і F1 рівні, зрозуміло з наочних міркувань. Строге обґрунтування цього факту дає така теорема.

 

Теорема 17.1 (властивість паралельного перенесення). Паралельне перенесення є рухом.

Доведення.

Нехай точки A(x1y1) і B(x2y2) належать фігурі F, точки A1 і B1 — їх відповідні образи при паралельному перенесенні на вектор (mn):





Тоді вектори  і  мають координати (mn). Отже, координатами точок A1 і B1 є відповідно пари чисел (x1 + m, y1 + n), (x2 + my2 + n).

Маємо:


;

.

Отже, ми показали, що AB = A1B1, тобто паралельне перенесення зберігає відстань між точками.



Наслідок. Якщо фігура F1 — образ фігури F при паралельному перенесенні, то F1 = F.

 

Цю властивість використовують при створені рисунків на тканинах, шпалерах, покриттях для підлоги тощо.



 

Якщо фігура F1 є образом фігури F при паралельному перенесенні на вектор , то фігура F є образом фігури F1 при паралельному перенесенні на вектор –:



Паралельні перенесення на вектори  і – є взаємно оберненими рухами.



 

Задача.

Кожній точці X(xy) фігури F поставлено у відповідність точку X1(+ m, + n), де m і n — задані числа. Доведіть, що таке перетворення фігури F є паралельним перенесенням на вектор (m; n).

Розв’язання.

Розглянемо вектор (mn). Зауважимо, що координати вектора  дорівнюють (mn), тобто . Отже, описане перетворення фігури F — паралельне перенесення на вектор .

 

  1   2   3


База даних захищена авторським правом ©uchika.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка