Тіла обертання Підготувала




Скачати 24,41 Kb.
Дата конвертації09.06.2017
Розмір24,41 Kb.

Тіла обертання

Підготувала:

Ст. гр. БО-12

Тацин Христина

  • Тіла́ оберта́ння — об'ємні тіла, що виникають при обертанні плоскої фігури, обмеженої кривою, навколо осі, що лежить в тій же площині.

Приклади тіл обертання

  • Куля — тривимірна фігура, утворена півколом, що обертається навколо діаметра розрізу
  • Циліндр — тривимірна фігура, утворена прямокутником, що обертається навколо однієї із сторін
  • За площу бічної поверхні циліндра приймається площа її розгортки:
  • Sбіч = 2πrh.
  • Конус — тривимірна фігура, утворена прямокутним трикутником, що обертається навколо одного з катетів
  • За площу бічної поверхні конуса приймається площа її розгортки:
  • Sбіч = πrl.

Площа повної поверхні конуса:

  • Площа повної поверхні конуса:
  • Sбіч = πr(l+ r).Тор — тривимірна фігура, утворена колом, що обертається навколо прямої, яка не перетинає його [1]
  • При обертанні контурів фігур виникає поверхня обертання (наприклад, сфера, утворена колом), в той час як при обертанні заповнених контурів виникають тіла (як куля, утворена кругом).

Об'єм і площа поверхні тіл обертання

Об'єм і площа поверхні тіл обертання можна дізнатися за допомогою теорем Гульдіна-Паппа:

Перша теорема Гульдіна-Паппа стверджує:


Площа поверхні, утвореної при обертанні лінії, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку довжини лінії s на довжину кола l = 2πrs, яке пробігає центр мас (т.С) цієї лінії.

Наприклад:

  • Для тора радіусом R  i з радіусом кола r , довжина лінії s=2Пr , довжина кола для центру мас l=2ПR , звідки площа поверхні тора s*l=4П^2rR .

Друга теорема Гульдіна-Паппа стверджує:


Об'єм тіла, утвореного при обертанні фігури, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку площі А фігури на довжину кола l = 2πRs, яке пробігає центр мас (т.CA) цієї фігури.

Історія вивчення та виникнення тіл обертання

  • Початкові відомості про властивості геометричних тіл люди знайшли, спостерігаючи навколишній світ і в результаті практичної діяльності. 
  • До Фалеса в світі геометрією майже ніхто не займався. У геометричних фігур не було назв. Тому люди почали вигадувати їм свої назви.
  • Ялинкова шишка з грецької означає слово "конос". Тому тіла такої форми отримали назву конус.

Конус - тривимірна фігура, утворена прямокутним трикутником, що обертається навколо одного з катетів.

Конус - тривимірна фігура, утворена прямокутним трикутником, що обертається навколо одного з катетів.

М'яч з грецької має назву "сфера". Тому фігура, яка обмежує кругле тіло обертання і називається сферою.

М'яч з грецької має назву "сфера". Тому фігура, яка обмежує кругле тіло обертання і називається сферою.

Куля – тіло, утворене обертанням круга навколо його діаметра.

Валик чи каток був дуже схожий на сучасну фігуру циліндр. Тому з грецької мови "каток", "валик" означають тіло обертання - циліндр.

Валик чи каток був дуже схожий на сучасну фігуру циліндр. Тому з грецької мови "каток", "валик" означають тіло обертання - циліндр.

Циліндр - тривимірна фігура, що утворена прямокутником, який обертається навколо однієї зі своїх сторін.

Геометрія в ранній період свого розвитку досягла особливо високого рівня в Єгипті. Ученим того часу вдалося дістати ряд визначних результатів. Насамперед обчислення об'єму правильної чотирикутної зрізаної піраміди (задача №14 Московського папірусу). Хоча не вдалося точно  перекласти текст і розвязання задачі №10 з Московського папірусу, в якій обчислюється об'єм кошика, що має форму половини кулі з отвором 4,5. Одні вважають, що в задачі йдеться про точне обчислення поверхні півкулі, другі - бічної поверхні циліндра, треті - наближене обчислення об'єму круглоподібного зерносховища. В усіх випадках, це було визначне досягнення того часу.

  • Геометрія в ранній період свого розвитку досягла особливо високого рівня в Єгипті. Ученим того часу вдалося дістати ряд визначних результатів. Насамперед обчислення об'єму правильної чотирикутної зрізаної піраміди (задача №14 Московського папірусу). Хоча не вдалося точно  перекласти текст і розвязання задачі №10 з Московського папірусу, в якій обчислюється об'єм кошика, що має форму половини кулі з отвором 4,5. Одні вважають, що в задачі йдеться про точне обчислення поверхні півкулі, другі - бічної поверхні циліндра, треті - наближене обчислення об'єму круглоподібного зерносховища. В усіх випадках, це було визначне досягнення того часу.

У першому тисячолітті до нашої ери геометричні відомості від єгиптян перейшли до греків. За період з VII по III століття до нашої ери грецькі геометри не тільки збагатили геометрію численними новими теоремами, але зробили також серйозні кроки до суворого її обгрунтування. Багатовікова робота грецьких вчених за цей період була підсумована Евклідом в його знаменитій праці «Початки».

  • У першому тисячолітті до нашої ери геометричні відомості від єгиптян перейшли до греків. За період з VII по III століття до нашої ери грецькі геометри не тільки збагатили геометрію численними новими теоремами, але зробили також серйозні кроки до суворого її обгрунтування. Багатовікова робота грецьких вчених за цей період була підсумована Евклідом в його знаменитій праці «Початки».

Евклід добре знав філософію Платона (саме тому він закінчив «Початки». З ім'ям Евкліда пов'язують становлення олександрійської математики (геометричної алгебри) як науки. В XI дається таке визначення: якщо прямокутний трикутник обертається близько одного зі своїх катетів зліва і повернеться в той же самий стан, з якого він почав рухатися, то описана фігура буде конусом. Нерухомий катет, навколо якого обертається трикутник, називається віссю конуса, а коло, описуване обертовим катетом, називається підставою конуса. Евклід розглядає тільки прямі конуси, тобто такі, у яких вісь перпендикулярна до основи, лише Аполлоній розрізняє прямі і косі конуси, у яких вісь утворює з основою кут, відмінний від прямого.

Евклід добре знав філософію Платона (саме тому він закінчив «Початки». З ім'ям Евкліда пов'язують становлення олександрійської математики (геометричної алгебри) як науки. В XI дається таке визначення: якщо прямокутний трикутник обертається близько одного зі своїх катетів зліва і повернеться в той же самий стан, з якого він почав рухатися, то описана фігура буде конусом. Нерухомий катет, навколо якого обертається трикутник, називається віссю конуса, а коло, описуване обертовим катетом, називається підставою конуса. Евклід розглядає тільки прямі конуси, тобто такі, у яких вісь перпендикулярна до основи, лише Аполлоній розрізняє прямі і косі конуси, у яких вісь утворює з основою кут, відмінний від прямого.

У XII книзі "Початки" Евкліда містяться наступні теореми про конус: 

У XII книзі "Початки" Евкліда містяться наступні теореми про конус: 

  • Обсяг конуса дорівнює однієї третини обсягу циліндра з рівною основою і рівною висотою; доказ цієї теореми належить Евдоксу Книдской.
  • Відношення обсягів двох конусів з рівними основ дорівнює відношенню відповідних висот.
  • Якщо два конуса рівновеликі, то площі їх підстав обернено пропорційні відповідним висотам і навпаки.

Аполлоній Пергський давньогрецький математик і астроном, учень Евкліда дав повний перелік його праць«Кінцеві перетини» у восьми підручниках. В залежності від взаємного розташування конуса і січної площини отримують три типи фігур: параболу, еліпс, гіперболу. У Евкліда немає поняття конічної поверхні, воно було введено Аполлонієм в його "Конічних перетинах", при цьому він мав на увазі обидві площині конуса.

Аполлоній Пергський давньогрецький математик і астроном, учень Евкліда дав повний перелік його праць«Кінцеві перетини» у восьми підручниках. В залежності від взаємного розташування конуса і січної площини отримують три типи фігур: параболу, еліпс, гіперболу. У Евкліда немає поняття конічної поверхні, воно було введено Аполлонієм в його "Конічних перетинах", при цьому він мав на увазі обидві площині конуса.

Ось що пише Аполлоній Пергський: "Якщо від будь-якої точки окружності кола, який не знаходиться в одній площині з деякою точкою, проводити прямі, що з'єднують цю точку з колом, і при нерухомості точки переміщати пряму по колу, повертаючи її туди, звідки почалося рух, то поверхню, описану прямий і складену з 2 поверхонь, що лежать в вершині один проти одного, з яких кожна нескінченно збільшується, якщо нескінченно продовжувати описує пряму, я називаю конічною поверхнею, нерухому ж точку - її вершиною, а віссю - пряму, проведену через цю точку і центр кола". 

Ось що пише Аполлоній Пергський: "Якщо від будь-якої точки окружності кола, який не знаходиться в одній площині з деякою точкою, проводити прямі, що з'єднують цю точку з колом, і при нерухомості точки переміщати пряму по колу, повертаючи її туди, звідки почалося рух, то поверхню, описану прямий і складену з 2 поверхонь, що лежать в вершині один проти одного, з яких кожна нескінченно збільшується, якщо нескінченно продовжувати описує пряму, я називаю конічною поверхнею, нерухому ж точку - її вершиною, а віссю - пряму, проведену через цю точку і центр кола". 

Суворі докази теорем, що служать для виведення формули обсягу конуса і викладених в п'яти реченнях "Початку" Евкліда, дав Евдокс Кнідський. У першому з них методом вичерпання доводиться, що об`єм конуса дорівнює 1/3 об'єму циліндра, що має таку основу і подібну ж висоту.

Суворі докази теорем, що служать для виведення формули обсягу конуса і викладених в п'яти реченнях "Початку" Евкліда, дав Евдокс Кнідський. У першому з них методом вичерпання доводиться, що об`єм конуса дорівнює 1/3 об'єму циліндра, що має таку основу і подібну ж висоту.

 Нарешті, в останніх 2 пропозиціях встановлюється, що відношення об`ємів 2 конусів, площі основ яких рівні, так само дорівнюють відношенню висот. За визначенням Евкліда, конус утворюється від обертання прямокутного трикутника, навколо одного з катетів.

 Нарешті, в останніх 2 пропозиціях встановлюється, що відношення об`ємів 2 конусів, площі основ яких рівні, так само дорівнюють відношенню висот. За визначенням Евкліда, конус утворюється від обертання прямокутного трикутника, навколо одного з катетів.

Архімед давньогрецький вчений, математик і механік, засновник теоретичної механіки і гідростатики. Розробив методи знаходження площ, поверхонь і об'ємів різних фігур і тіл. До нас дійшло тринадцять трактатів Архімеда.

Архімед давньогрецький вчений, математик і механік, засновник теоретичної механіки і гідростатики. Розробив методи знаходження площ, поверхонь і об'ємів різних фігур і тіл. До нас дійшло тринадцять трактатів Архімеда.

У самому знаменитому з них - «Про кулі і циліндри» (у двох книгах) Архімед встановлює, що площа поверхні кулі в 4 рази більше площі найбільшого його перетину; формулює співвідношення обсягів кулі і описаного біля нього циліндра як 2:3 - відкриття, яким дорожив, тому в заповіті просив поставити на своїй могилі пам'ятник з зображенням циліндра з вписаної в нього кулею. У цьому ж трактаті сформульована аксіома Архімеда (аксіомою Евдокса), що грає важливу роль в сучасній математиці.

У самому знаменитому з них - «Про кулі і циліндри» (у двох книгах) Архімед встановлює, що площа поверхні кулі в 4 рази більше площі найбільшого його перетину; формулює співвідношення обсягів кулі і описаного біля нього циліндра як 2:3 - відкриття, яким дорожив, тому в заповіті просив поставити на своїй могилі пам'ятник з зображенням циліндра з вписаної в нього кулею. У цьому ж трактаті сформульована аксіома Архімеда (аксіомою Евдокса), що грає важливу роль в сучасній математиці.



База даних захищена авторським правом ©uchika.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка