Управління освіти і науки Волинська обласна держадміністрація Нововолинське вище професійне училище Методика вивчення ірраціональних рівнянь і нерівностей з використанням технологій розвивального навчання




Сторінка28/29
Дата конвертації31.10.2017
Розмір3,98 Mb.
1   ...   21   22   23   24   25   26   27   28   29
5. Метод виділення повних|цілковитих| квадратів при розвязанні ірраціональних рівнянь.

При розвязанні деяких ірраціональних рівнянь корисною є формула

Приклад|зразок| 1.



Перетворимо рівняння таким чином:



або



Позначимо і розвяжемо отримане рівняння

методом інтервалів.



Розглядаючи окремо випадки , знаходимо|находимо|

що розвязками останнього рівняння є|з'являються| .

Повертаючись до змінної , отримуємо|одержуємо| нерівності







Відповідь:

6. Метод оцінки.

Цей спосіб застосовний у тому випадку, коли підкореневі вирази є квадратним тричленом, що не розкладається на лінійні множники. Тому доцільно оцінити|оцінювати| ліву і праву частини|частки| рівняння.

Приклад|зразок| 1.



Оцінимо|оцінюватимемо| обидві частини|частки| рівняння:

,

,



Ліва частина|частка| рівняння існує при всіх значеннях змінної , не менших 5, а права – при всіх значеннях, не більших 5, отже, рівняння матиме розвязок|розв'язання|, якщо обидві частини|частки| рівняння одночасно дорівнюють 5, тобто справедлива наступна|слідуюча| система:



Коренем другого рівняння системи є|з'являється| число

Перевіримо, чи є|з'являється| це число коренем другого рівняння:

.

Відповідь:

Приклад|зразок| 2.



Для всіх маємо





Використовуючи нерівність Коші, можемо записати:



причому рівність вірна при і

Таким чином, - корінь| початкового|вихідного| рівняння.

Відповідь:

7. Ірраціональні рівняння, що містять|утримують| степені|міри| вище другого.

Якщо рівняння має вигляд|вид| то його можна розвязати|рішати|, підносячи обидві частини|частки| цього рівняння до степеня . Отримане|одержувати| рівняння при непарному рівносильне даному рівнянню, а при парному є|з'являється| його наслідком|наслідком|, аналогічно розглянутому|розглядувати| вище випадку при

Приклад|зразок| 1



Піднесемо обидві частини|частки| рівняння до кубу:

або

яке рівносильне сукупності двох рівнянь:





Відповідь:

При розвязані ірраціональних рівнянь дуже часто користуються наступним|таким| прийомом.

Якщо то

У останній рівності замінюють на і отримують|одержують| Далі легко позбавитися від кубічної ірраціональності, підносячи обидві частини|частки| до кубу.

Приклад 2.

Тут, очевидно

Піднесемо до кубу обидві частини|частки| рівняння, отримаємо|одержуватимемо|:

,

або



або



або



або



Перевірка підтверджує, що це корінь рівняння.

Відповідь:

Зауваження.

Заміна в конкретному прикладі|зразку| лівої частини|частки| на праву, взагалі кажучи, неправомірна – адже| нам невідоме жодне значення , при якому це рівняння перетворюється на правильну числову рівність. Можливо, таких розвязків |розв'язань| немає взагалі. Допускаючи в практичних діях таку заміну, ми фактично розширюємо можливу множину розвязків|розв'язань|. Тому всі знайдені розв’язки слід перевіряти і лише ті, які перетворюють початкове|вихідне| рівняння на правильну рівність, слід записати у відповідь.

Від того, що школяр розв’яже|рішатиме| зайвий десяток завдань|задач|, розумнішим і кмітливішим він не стане, Результат навчання|вчення| оцінюється|оцінює| не кількістю інформації, що повідомляється, а якістю її засвоєння. Ця якість буде вища, якщо на один і той же приклад|зразок| подивитися|поглянути| з різних сторін. Розвязання завдань|задач| різними способами сприяє розвитку активного мислення учнів. Хороший|добрий| грунт для цього дає розвязання прикладів|зразків| різними способами.

Приклад 3. Спосіб 1.

(1)

Піднесемо обидві частини|частки| рівняння до кубу:



Групуючи, отримуємо|одержуємо|:



Використовуючи рівність (1) маємо:



або



або



або

корені якого

Відповідь:

Спосіб 2.

Іноді|інколи| корисно ввести|запроваджувати| не одну допоміжну змінну, а декілька, зводячи початкове|вихідне| рівняння до системи рівнянь.



Нехай Тоді

Таким чином справедлива наступна|слідуюча| система:





Повертаючись до змінної знаходимо|находимо|

Відповідь:

У наступному|такому| прикладі|зразку| введення|вступ| допоміжної змінної зводить початкове|вихідне| рівняння до однорідного.

Приклад|зразок| 4.



Покладемо

Тоді початкове|вихідне| рівняння набуде вигляду|вид|:



Оскільки при якому змінна перетворюється на |обертається| нуль|нуль-індикатор|, не є|з'являється| розвязанням початкового|вихідного| рівняння ( у чому можна переконатися підстановкою), ділимо обидві частини|частки| рівняння на

розвязуючи |рішати| яке, знаходимо|находимо|:

Залишилося розвязати |рішати| рівняння і

Коренями цих рівнянь є|з'являються| числа

Відповідь:

Приклад|зразок| 5.



Область допустимих значень задається нерівністю

Перетворимо рівняння таким чином:



Один корінь цього рівняння

Для розвязання другого рівняння покладемо

і розв’яжемо |рішатимемо|

Корені цього рівняння

Останній корінь не належить вказаному проміжку, тому, розвязуючи|рішати| рівняння , отримаємо|одержуватимемо|

Відповідь :

ДОДАТОК|застосування| 5

1   ...   21   22   23   24   25   26   27   28   29


База даних захищена авторським правом ©uchika.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка