Управління освіти і науки Волинська обласна держадміністрація Нововолинське вище професійне училище Методика вивчення ірраціональних рівнянь і нерівностей з використанням технологій розвивального навчання




Сторінка29/29
Дата конвертації31.10.2017
Розмір3,98 Mb.
1   ...   21   22   23   24   25   26   27   28   29

1.Біноміальні вирази

Вираз у = x m(a+bx n) p, де а і b — сталі, m і n — раціональні числа. Можливі наступні підстановки:

Якщо p — ціле, то t = де r найменше спільне кратне чисел m і n.

Якщо m/n ціле, то де s — знаменник числа р.

Якщо m/n+p ціле, то S — знаменник числа р.

1. Розв’яжіть |рішатимете| рівняння

Оскільки х = 0 не коренем рівняння, розділимо обидві його частини на . Виділяється біноміальний вираз: Маємо m = -1/2, n = 1, p = 1/2 і m/n + p = 0 — ціле число. За допомогою підстановки t &t; = 0 ірраціональне рівняння зводиться до раціонального 2t 3 - 7t 2 + 7t - 2 = 0, корені якого 1/2, 1 і 2, тоді з нашої підстановки отримаємо х = 1/2, х = 1/5 і х = 4/5.



2. Підстановки Ейлера

Хай задана функція де а <> 0, квадратний тричлен від’ємний і не має рівного кореня.

Якщо дискримінант квадратного тричлена від’ємний, то знаки с і а збігаються, але цей тричлен додатний, значить а > 0. Можна зробити підстановку Її називають першою підстановкою Ейлера.

Обидві частини|частки| рівності піднесемо до квадрату і отримаємо|одержуватимемо|, і дана функція набирає вигляду і отримали|одержували| раціональну функцію.

Хай дискримінант квадратного тричлена додатний, тоді ах 2 + bx + c= а(x - x 1)(x - x 2). В цьому випадку застосовується підстановка (х <> х= 1). Ця підстановка — друга підстановка Ейлера. Застосовуючи її, можна втратити корінь х=- 1, необхідна перевірка, чи буде це число коренем рівняння. У випадку с> 0 можна застосувати підстановку

2. Розв’язати |рішатимете| рівняння

Застосуємо першу підстановку Ейлера. і приходимо до рівняння t 3 - t 2 - 6t = 0, звідки t є 0, 3 або -2 і повертаючись до змінної х отримаємо х = -1 і х = 8/7.



3. Розв’язати|рішатимете| рівняння

У даному рівнянні дискримінант квадратного тричлена додатний, корені його 1 і -3.

1 — корінь даного рівняння. Знайдемо інший корінь підстановкою . Звідси а і дане рівняння зводиться до рівняння 3t 3 + t 2 - t + 1 = 0, яке має коренем -1, тоді х= -1. Дане рівняння має два корені: 1 і -1.

3. Тригонометричні підстановки.

Тригонометричні підстановки дозволяють звести ірраціональне рівняння до тригонометричного. Розглянемо|розглядуватимемо| наступні|слідуючі| підстановки:

Рівняння розв’язується підстановкою х = |a| sin t, де — і при цьому

Рівняння розв’язується підстановкою х = |a| tg t, де

Рівняння розв’язується підстановкою х = |a| sec t.

Рівняння розв’язується підстановкою х = а cos 2t + b sin 2t

Розглянемо рівняння (16) Застосуємо підстановку х = sin t, де і отримаємо рівняння 1 + sin 3t + cos 3t = 3sin t cos t. Рівняння симетричне відносно sin t і cos t, розв’язується підстановкою Маємо змішану систему яке має розв’язки z = -1, тоді звідки х = -1.

Тут наведено далеко не всі способи розв’язання ірраціональних рівнянь. Пошук розв’язання - процес творчий і не піддається алгоритмізації.



4. Розв’язати |рішатимете| рівняння

Піднесення до степеня не дає результату. Тоді зробимо заміну: Замінимо дане рівняння системою Виключаючи з перших двох рівнянь змінну х, отримаємо систему Розв’язуємо цю систему методом підстановки, отримаємо u 1=0, u 2= -2, u 3= =1, тоді х 1=2, х 2=10, х 3= 12. Перевірка показує, що всі знайдені значення х є коренями даного рівняння.

Цей прийом хороший|добрий| у тому випадку, коли сума або різниця підкореневих виразів є константа.

5. Розв’язати|рішатимете| рівняння

Хай . Отримаємо систему , яка рівносильна системам , звідки u = 1 або u = 2, тоді х = 1 або х = -6. Перевірка показує, що ці значення х – корені даного рівняння.

6. Наслідок може бути отриманий як результат|одержувати| множення обох частин початкового
рівняння на різницю радикалів|радикал-іонів|

Рівняння вигляду |виду|, в якому різниця підкореневих виразів є число, можна розв’язувати |рішати|, помноживши обидві частини|частки| рівняння на різницю радикалів|радикал-іонів|. Розглянемо|розглядуватимемо| приклад|зразок|.



6. Розв’язати|рішатимете| рівняння

Помноживши обидві частини|частки| рівняння на різницю коренів отримаємо|одержуватимемо| рівняння

Додавши почленно ці рівняння, отримаємо і х = 21/4. Перевірка показує, що знайдене число є коренем даного рівняння.

7. Розв’язати|рішатимете| |рішатимете| рівняння

Помноживши обидві частини|частки| рівняння на суму радикалів|радикал-іонів|, отримаємо|одержуватимемо| рівняння



далі маємо звідки х = 2 і х = -9/2. Перевірка показує, що обидва значення х — кореніданого рівняння.

9. Використання монотонності функцій в лівій частині|частці| рівняння

При розв’язанні деяких рівнянь корисно скористатися тим, що функція монотонна. Розглянемо|розглядуватимемо| приклади|зразки|.



8. Розв’язати|рішатимете| |рішатимете| рівняння

У лівій частині|частці| рівняння сума зростаючих функцій, а в правій — константа, це означає , що рівняння має не більш ніж один корінь. 1 — корінь рівняння.



9. Розв’язати|рішатимете| |рішатимете| рівняння

Виділимо повний|цілковитий| квадрат в першому підкореневому виразі|вираженні| і отримаємо|одержуватимемо|



Розглянемо функцію тоді початкове рівняння набуде вигляду f(2x+1)+f(x)=0. Оскільки функція f(y) непарна, дане рівняння набуде вигляду



f(2x + 1)= -f(x)=f(-х). Оскільки f(y) монотонно зростає, останнє рівняння рівносильне рівнянню 2х + 1 = -х і х = -1/3.

10. Розв’язати|рішатимете| |рішатимете| рівняння

Права частина|частка| рівняння не перевищує 3, а ліва

Значить обидві частини рівняння рівні 3, що виконується при х = 0.

11. Розв’язати|рішатимете| |рішатимете| рівняння

Дане рівняння рівносильне рівнянню Розглянемо функцію тоді отримане рівняння набуде вигляду f(f(x))= x. Введена функція зростає, означає рівняння f(x)= x і f(f(x))= х рівносильні, тобто дане рівняння рівносильне рівнянню . Коренем даного рівняння буде


1   ...   21   22   23   24   25   26   27   28   29


База даних захищена авторським правом ©uchika.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка