Управління освіти і науки Волинська обласна держадміністрація Нововолинське вище професійне училище Методика вивчення ірраціональних рівнянь і нерівностей з використанням технологій розвивального навчання




Сторінка4/29
Дата конвертації31.10.2017
Розмір3,98 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   29

Ірраціональні рівняння і нерівності в шкільному курсі математики і в математиці як науці

  1. Коротка історична довідка


Однією із важливих причин появи математичних теорій з'явилося відкриття іррациональності. Термін «раціональне» (число) походить від латиноамериканського слова ratio – відношення, яке є перекладом грецького слова “логос”. На відміну від раціональних чисел, числа, що виражають відношення несумірних величин, були названі ще в старовину ірраціональними, тобто нераціональними (по-грецьки “алогос”). Правда, спочатку терміни “раціональний” і “ірраціональний” відносилися не до чисел, а до сумірних і відповідно не сумірним величинам, які піфагорійці називали вираженими і невираженими, Теодор Киренський же симетричними і асиметричними. У V-VI століттях римські автори Капела і Касіодор перекладали ці терміни на латинь словами rationalis і irrationalis.

Старогрецькі математики класичної епохи користувалися тільки раціональними числами (вірніше цілими, дробами і додатними). У своїх «Початках» Евклід подає вчення про ірраціональності чисто геометрично. Ймовірно, найпершою ірраціональністю, відкритою старогрецькими математиками, було число π. Можна з упевненістю вважати, що початковим пунктом цього відкриття були спроби знайти загальну міру за допомогою алгоритму поперемінного віднімання, відомого зараз як алгоритм Евкліда. Можливо також, що деяку роль зіграло завдання математичної теорії музики: ділення октави, що приводить до пропорції 1:п=п:2. Не останню роль зіграв і характерний для піфагорійської школи загальний інтерес до теоретико-числових проблем.

Багато учених країн Середнього Сходу в своїх працях вживали ірраціональні числа як повноправні об'єкти алгебри. Більш того, коментуючи «Початки» Евкліда і досліджуючи загальну теорію відношення Евдокса, Омар Хайям вже на початку XII ст. теоретично розширює поняття числа до додатного дійсного числа. У тому ж напрямі багато було зроблено найбільшим математиком XIII ст. ат-Туси.

У сучасних навчальних посібниках основа визначення ірраціонального числа |обпирається| спирається на ідеї ал-Каши, Стевіна і Декарта провимірювання відрізків і про необмежене наближення до шуканого числа за допомогою нескінченних |безконечних| десяткових дробів. Проте обгрунтуванням властивостей дійсних чисел і повна |цілковита| теорія їх була розроблена лише в XIXст.

“Джерелом алгебраїчни хірраціональностей є |з'являється| двозначність або багатозначність задачі; бо було б неможливо виразити |виказувати| одним і тим же обчисленням багато значень, що задовольняють одній і тій же задачі |задачі|,інакше, ніж за допомогою коренів; вони ж хіба лише в окремих випадках можуть бути зведені дораціональностей |”. (Лейбніц Г.)

Значення відкриття |відчиняти| ірраціональності в математиці важко переоцінити. У математику, мало не вперше, увійшла складна теоретична абстракція, що не має аналога в донауковому | загальнолюдському досвіді |досліді|. Услід за ірраціональністю числа були відкриті |відчиняти| багато інших ірраціональності. Так, Теодор з|із| Кирени (Vст. до н.е.) встановив ірраціональність квадратного кореня з |із| чисел 3,5,6.,17, які не є |з'являються| |цілковитим| повним квадратом, Теетет (410-369 до н.е.) дав одну з перших класифікацій ірраціональностей|.|із| З появою ірраціональностей | в старогрецькій математиці виникли серйозні труднощі як в теоретико-числовому |, так і в геометричному плані.

Розв’яжемо задачу: “Віки трьох братів 30, 20 і 6 років. Через скільки років вік старшого дорівнюватиме сумі віків обох молодших братів?”

Метод розв’язання подібних задач був відомий ще в II тисячолітті до н.е. писарям Древнього Єгипту ( |однак| проте вони не застосовували буквеної символіки).

Ще складніші завдання уміли розв’язувати з початку II тисячоліття до н.е. в Стародавньому Вавілоні. У математичних текстах, виконаних клинописом на глиняних пластинах, є квадратні і біквадратні рівняння, системи рівнянь з двома невідомими і навіть прості кубічні рівняння. При цьому вавілоняни також не використали букв. На подальший розвиток алгебри сильний вплив зробили розглянуті Діофантом завдання, що приводять до складних систем рівнянь алгебри, зокрема до систем, де число рівнянь було менше числа невідомих. Для таких рівнянь Діофант шукав лише позитивні раціональні розв’язки.

З VI ст. центр математичних досліджень переміщається до Індії і Китаю, країн Близького Сходу і Середньої Азії. Китайські учені розробили метод послідовного виключення невідомих для розв’язування систем лінійних рівнянь, подали нові методи наближеного розв’язування рівнянь вищих степенів. Індійські математики використовували від’ємні числа і удосконалили буквену символіку. Проте лише в працях учених Близького Сходу і Середньої Азії алгебра сформувалася в самостійну гілку математики, що трактує питання, пов'язані з розв’язуванням рівнянь. У IX ст. узбецький математик і астроном Мухаммед ал-Хорезми написав трактат “Китаб аль-джебр валь-мукабала”, де дав загальні правила для розв’язування рівнянь першого степеня. Слово «алъ-джебр» (відновлення), від якого нова наука алгебра отримала свою назву, означало перенесення від’ємних членів рівняння з однієї його частини в іншу із зміною знаку. Учені Сходу вивчали і розв’язування кубічних рівнянь, хоча не зуміли отримати загальної формули для їх коренів. У Західній Европі вивчення алгебри почалося в XIII ст. Одним з визначних математиків цього часу був італієць Леонардо Пізанський (Фібоначчі) (бл.1170 – 1228). Його “Книга абака” (1202) – трактат, який містив відомості про арифметику і алгебру до квадратних рівнянь включно. Першим визначним самостійним досягненням західноєвропейських учених було відкриття в XVI ст. формули для розв’язування кубічного рівняння. Це було заслугою італійських алгебраїстів С. Дель Ферро, Н.Тарталья і Дж. Кардано. Учень останнього – Л. Феррарі розв’язав і рівняння 4-го степеня. Вивчення деяких питань, пов'язаних з коренями кубічних рівнянь, привело італійського алгебриста Р. Бомбеллі до відкриття комплексних чисел. Завойовували права громадянства від’ємні числа, потім – комплексні, учені почали вільно застосовувати ірраціональні числа.

Особливо далеко було просунуто в XVIII ст. розв’язування систем лінійних рівнянь – для них були отримані формули, що дозволяють виразити розв’язок через коефіцієнти і вільні члени. Подальше вивчення таких систем рівнянь привело до створення теорії матриць і визначників. В кінці XVIII ст. було доведено, що будь-яке рівняння алгебри з комплексними коефіцієнтами має хоч би один комплексний корінь. Це твердження носить назва основної теореми алгебри.

Протягом двох з половиною сторіч увага алгебраїстів була прикована до завдання про виведення формули длярозв’язування загального рівняння 5-ого степеня. Треба було виразити корені цього рівняння через його коефіцієнти за допомогою арифметичних операцій і витягань коренів (розв’язати рівняння в радикалах). Лише на початку XIX ст. італієць П. Руффіні і норвежець Н. Абель незалежно один від одного довели, що такої формули не існує. Ці дослідження були завершені французьким математиком Е. Галуа, методи якого дозволяють для кожного даного рівняння визначити, чи розв’язується воно в радикалах.



На початку XIX ст. були розв’язані основні завдання, що стояли перед алгеброю в першому тисячолітті її розвитку. Були розроблені правила буквеного числення для раціональних і ірраціональних виразів, з'ясовано питання про розв’язування рівнянь в радикалах і побудована строга теорія комплексних чисел. Поверхневому спостерігачеві могло здатися, що тепер математики розв’язуватимуть нові і нові класи рівнянь алгебри, доводитимуть нову тотожність алгебри і так далі. Проте розвиток алгебри пішов іншим шляхом: з науки про буквене числення і рівняння вона перетворилася на загальну науку про операції і їх властивості. Наприклад, ірраціональні рівняння і нерівності можна розглянути як над полем комплексних чисел, так і над полем дійсних чисел.

      1. Ірраціональні рівняння і нерівності над полем комплексних чисел і над полем дійсних чисел


Сучасна алгебра, як наука, є досить широким |величезним| розділом математики, що складається з великого числа дисциплін (теорія груп, кілець, полів, лінійна алгебра і так далі). Предметом вивчення сучасної алгебри є |з'являються| операції, що володіють деякими, |сповна| цілком певними властивостями, і множини, над елементами яких встановлюються |установлені| ці операції (кільця, поля, групи). |розглядуватимемо| Розглянемо ірраціональні рівняння, нерівності над полем комплексних чисел і над полем дійсних чисел. В.І. Новосельцев в підручнику |посібнику| для фізико-математичних факультетів дає досить повний виклад матеріалу по даній темі.

Означення. Рівняння f(x,y.,z)=0 (1) називається ірраціональним, якщо його ліва частина є ірраціональна алгебраїчна функція від невідомих.

Припустимо, що f(x, у...,z) є явною ірраціональною функцією, тобто може бути задана виразом, що містить радикали. Розглядатимемо ірраціональне рівняння над полем комплексних чисел. Всякий радикал той, що міститься в лівій частині, при будь-якій системі комплексних значень аргументів, має п різних значень, якщо R (x, у. . ., z 0. Таким чином, всякій даній (допустимій) системі комплексних значень аргументів відповідає деяка безліч (кінцеве) значень виразу f(x, у.,z) (число значень залежить від кількості радикалів і від їх степенів).

Означення. Розвязком в полі комплексних чисел ірраціонального рівняння f(x,y.,z)=0 називається система значень невідомих, при якій хоч би одне із значень ірраціонального виразу f(x,y.,z) дорівнює нулю.

Якщо х=а, у=в..., х=с є розв’язком ірраціонального рівняння (1), то при даних значеннях невідомого існує така система значень радикалів (що містяться в лівій частині), що значення лівої частини дорівнює нулю. Таким чином, в загальному випадку при х = а, у = у., z = з для кожного з радикалів слід узяти деяке цілком певне значення і не можна значення радикалів вибирати довільно.



Теорема . Розв’язання ірраціонального рівняння (або системи ірраціональних рівнянь) в полі комплексних чисел рівносильно розвязанню деякої системи раціональних рівнянь.

Розглянемо, наприклад, рівняння з одним невідомим (2)

де f(x,y) – многочлен від аргументів x і у, а Р(х) – многочлен.

Замінимо дане рівняння системою f(x,y)=0, yn – P(x)=0 (3)

Якщо з системи рівнянь (3) виключити невідоме у, то вийде алгебраїчне рівняння відносно х: F(x)=0 (4), де F(x) – многочлен.



Перехід від ірраціонального рівняння (2) до рівняння (4), що є наслідком (2) і що не містить радикалів |радикал-іонів|, називається виділенням радикалів.

Якщо рівняння містить лише квадратні радикали |радикал-іони|, то їх можна виключити за допомогою послідовного піднесення |піднесення| рівняння до квадрату.

При розв’язуванні ірраціональних рівнянь в полі дійсних чисел допустимі значення для невідомих і для радикалів повинні задовольняти додатковим умовам, які випливають з умов здійснимості добування кореня і із змісту символу у полі дійсних чисел, саме:

1°. Для невідомих за допустимі вважаються лише ті системи дійсних значень, при яких значення підкореневих виразів радикалів (кожного) парного степеня невідємні.


2°. Значення радикалів парного степеня невідємні, тобто завжди позначає арифметичний корінь.

3°. Значення кореня непарного степеня при довільному дійсному А є єдине дійсне його значення.

Розв’язання ірраціонального рівняння в полі дійсних чисел за допомогою виключення радикалів може привести до появи сторонніх розв’язків. Насправді|дійсно|, викладеними методами знаходять |перебувають| всі розв’язки ірраціонального рівняння в полі комплексних чисел, із |із| безлічі цих розв’язків |розв'язань| слід вибрати лише ті, які задовольняють додатковим умовам 1о-3о.



Тому при розв’язанні ірраціональних рівнянь в полі дійсних чисел за допомогою виключення радикалів необхідна перевірка розв’язків |розв'язань| шляхом підстановки в дане рівняння, якщо в процесі |розв'язання| розв’язання не проводилося |виробляло| дослідження здійснимості умов 1о-3о. Якщо в даному рівнянні який-небудь радикал |радикал-замінити іншим його значенням, то рівняння, що виходить в результаті виключення радикала|радикал-іона| не зміниться. Зі всіх комплексних значень радикала парного степеня (де А>0) два його значення дійсні: ±. Тому при розв’язанні рівняння, що містить дійсні радикали парного степеня, за допомогою виключення радикалів можуть з'явитися сторонні розв’язки, що належать рівнянням, що виходять з даного зміною знаків перед радикалами парного степеня на протилежні.

Зведення обох частин |часток| рівняння до непарного степеня |міру|еквівалентності (над полем дійсних чисел) рівняння не порушує і до сторонніх розв’язків|розв'язань| привести не може, піднесення ж обох частин до парного степеня в загальному випадку порушує еквівалентність рівняння.



Теорема. При розв’язанні рівняння у полі дійсних чисел можливо звести обидві частини в степінь 2к:

Р(х,у...,z)=Q2k(x,y.,z), поставивши додаткову умову P(x, у...,z) ≥0.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   29


База даних захищена авторським правом ©uchika.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка