Випадкова величина




Скачати 211,29 Kb.
Сторінка1/3
Дата конвертації26.04.2017
Розмір211,29 Kb.
  1   2   3















ТЕМА

ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА

1 Випадкова величина. Функція розподілу випадкової величини


Зіставимо кожну елементарну подію конкретного випробування з деяким числом. Наприклад, розглянемо випробування, що полягає в підкиданні монети. Маємо простір елементарних подій – множину з двох можливих рівно ймовірних наслідків випробування: 1 – випадання "решки" та 2 – випадання герба. Введемо до розгляду функцію = f(), що визначається за формулами: f(1)=0, f(2)=1. Це – числова функція (випадкова величина), яка залежить від випадку. Позначимо її через :

Для значень, яких у результаті випробувань може рівно ймовірно набувати функція , застосуємо символи та . Відповідно з нашою угодою, вони дорівнюють
і
У загальному випадку задовільної випадкової величини позначатимемо її однією з грецьких літер ,,..., а значення, яких вона набуває літерами латинської абетки: х, y,..... Відповідність між цими значеннями та ймовірностями, з якими їх набуває така функція , зручно задати у вигляді табл. 1, що називається законом розподілу дискретної випадкової величини:
Таблиця 1









...











...


У випадку зазначеної конкретної випадкової величини, пов’язаної з випадінням сторін підкинутої монети, табл. 1 конкретизується у вигляді табл. 2:


Таблиця 2



0

1



1/2

1/2

Цю закономірність можна також наочно представити на площині xOy, розмістивши на горизонтальній осі значення і , а на вертикальній осі, що доцільно було перемістити з її традиційного положення – відповідні їм ймовірності (рис. 1). При цьому графік функції складається тільки з двох точок (,) і (,). В інших точках горизонтальної осі функція взагалі принципово не визначена.



Ще більш наочно закон розподілу дискретної випадкової величини зображається специфічною функцією

що називається функцією розподілу випадкової величини .

Рисунок 1


У відповідності з її визначенням, вона дає в точці x ймовірність того, що випадкова величина розташована на осі Ox зліва від цієї точки x. Зокрема, для випадкової величини, заданої законом розподілу в табл. 2, ця функція має складний вигляд із різними представленнями на різних інтервалах

На рис. 2 наведено її графік з двома неусувними розривами 1-го роду.

Рисунок 2


Розглянемо ще один приклад введення випадкової величини. Нехай є мішень – круг радіуса а, влучення до якого гарантовано. Як випадкову величину, що позначимо як , візьмемо відстань від центра мішені до точки влучення. Ймовірність того, що ця випадкова величина набуває різних значень r від нуля до а, обчислюється за формулою геометричної ймовірност:

При цьому функція розподілу

графік якої зображено на рис. 3, має вигляд


Рисунок 3


Модифікуємо попередній приклад: нехай всередині круга радіуса а, влучення до якого гарантовано, проведено два концентричні кола (рис. 4) з радіусами a/3 і 2a/ В залежності від відстані точки влучення від центра мішені стрілець одержує 10, 5 чи 1 бал, відповідно.

Рисунок 4


За випадкову величину, що позначимо як , візьмемо тепер кількість очок, набраних при пострілі по мішені. Її можливі значення: 10, 5, 1. Обчислимо ймовірності випадків прийняття цих значень величиною

,

,


При цьому закон розподілу випадкової величини має вигляд табл. 3:
Таблиця 3



1

5

10



5/9

1/3

1/9

За цим законом розподілу випадкової величини знаходимо функцію її розподілу та будуємо її графік (рис. 5).



Рисунок 5

Властивості функції розподілу:

1. F(x) – неубутна функція. Дійсно, якщо x12 (рис. 6).


Рисунок 6


F(x2)=P(2)=P(1)+P(x1<2)>P(1)=F(x1); F(x1)2);

2. F(+)=1; F(-)=0; F(+)=P(<)=1;

P(-<<)=1; F(-)=0;

P(<)=P() - P()=F() - F().


Якщо функція розподілу в деякій точці =а має неусувний розрив 1-го роду – стрибок на величину р, (рис. 7) то Р(=а)=р.

Рисунок 7


Дійсно, розглянемо [а, b), b a+0.
P(=а)=.
Найбільш важливими типами випадкових величин є дискретні і неперервні випадкові величини, які будуть розглянуті більш докладно.

  1   2   3


База даних захищена авторським правом ©uchika.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка