Конкурсу «учитель року 2010»


Тема уроку: Побудова перерізів многогранників. Мета уроку



Сторінка5/7
Дата конвертації20.03.2017
Розмір1.28 Mb.
ТипКонкурс
1   2   3   4   5   6   7
Тема уроку: Побудова перерізів многогранників.

Мета уроку: Формування вмінь учнів застосовувати властивості паралельних площин до розв’язання вправ, побудови перерізів, розвивати просторове уявлення; виховувати потребу в самовдосконаленні, прагнення до самопізнання.

Обладнання: Стереометричний набір.
Хід уроку

І. Організаційний момент уроку.

Побажання успіху товаришу.



ІІ. Перевірка домашнього завдання.

  1. Три учні відтворюють розв’язання задач № 28, 30, 31 на дошці, в цей час клас пише математичний диктант.

  2. Математичний диктант.



Користуючись зображенням, запишіть:

  1. пряму, яка лежить в площині β і паралельна прямій АС; (2 бали)

  2. відрізки, довжини яких дорівнюють АА1; (2 бали)

  3. чому дорівнює кут А1АД1, якщо <АА1Д1=120º; (2 бали)

  4. чому дорівнює довжина діагоналі ВД, якщо В1Д1=3√3 см; (2 бали)

  5. вид чотирикутника А1В1С1Д1; (2 бали)

  6. чому дорівнює площа чотирикутника А1В1С1Д1, якщо площа чотирикутника АВСД дорівнює 30 см ². (2 бали)

Відповідь: 1) А1С1; 2) ВВ1, СС1, ДД1; 3) 60º;

4) 3√3 см; 5) паралелограм; 6) 30 см ².

3. Перевірка виконання математичного диктанту. ( на зворотному боці дошки записано

41
відповіді і учнів звіряють свої відповіді).


4. Заслуховують учнів, які розв’язували біля дошки задачі № 28, 30, 31.

ІІІ. Закріплення та осмислення знань учнів

Формування вмінь учнів будувати перерізи многогранників, використовуючи властивості паралельних площин

Властивість паралельних площин широко застосовується при розв’язуванні задач, зокрема задач на побудову перерізів.

Задача

Побудувати переріз прямокутного паралелепіпеда АВСДА1В1С1Д1 площиною α, яка проходить через вершини А, С і внутрішню точку М ребра А1В1.



Розв’язання

Переріз площини α з двома гранями одержимо, побудувавши відрізки АС і АМ. Оскільки площини граней АВСД і А1В1С1Д1 паралельні, то їх лінії перетину з площиною α, тому, побудувавши МN││АС і відрізок NС, одержимо переріз – трапецію АМNС.



Розв’язування задач

  1. У трикутній піраміді SАВС провести перерізи:

а) через середину ребра АС паралельно грані SСВ;

б) через середину ребра SС паралельно грані SАВ.



2. Побудуйте перерізи куба площиною, яка проходить через точки М, К, Р.


  1. Дано куб АВСД А1В1С1Д1. Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через дані точки: а) С1, К, Д; б) С1, К, С, де точка К – середина А1В1. З’ясуйте яка фігура утвориться в перерізі. (Відповідь: а) рівнобічна трапеція; б) прямокутник).

42

  1. Точка Х ділить ребро куба АВСД А1В1С1Д1 у відношенні АХ : ХВ = =2:3. Побудуйте переріз цього куба площиною, яка паралельна площині АА1С1 і проходить через точку Х. Знайдіть периметр перерізу, якщо АВ = а. (Відповідь: 2α+.)

  2. Доведіть, що коли перерізом паралелепіпеда є шестикутник, то його протилежні сторони паралельні.

  3. Чи може перерізом куба бути правильний п’ятикутник?

  4. Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через точку Е і паралельна площині МNР.






  1. Побудуйте прямокутний паралелепіпед АВСД А1В1С1Д1 і його переріз площиною, яка проходить через: а) ребро СС1 і точку перетину діагоналей грані А1В1С1Д1; б) точку перетину діагоналей АВСД і паралельно площині АВ1С1.

  2. Точка А1 ділить ребро SА тетраедра SАВС у відношенні SА1 : А1А = 2 : 3. Побудуйте переріз тетраедра площиною, яка проходить через точку А1 і паралельна площині АВС. Знайдіть периметр і площу перерізу, якщо АВС – правильний трикутник і АВ=10 см. (Відповідь:12 см; ≈7см²)

ІV. Домашнє завдання

Розв’язати задачу: Дано куб АВСД А1В1С1Д1 . Доведіть, що переріз куба площиною А1С1К, де К – середина ДС, є трапеція, а перерізи куба площинами А1В1К і АА1К є паралелограмами.



V. Підведення підсумку уроку.

Усне розв’язування задач.



  1. АВСД А1В1С1Д1 – прямокутний паралелепіпед. Доведіть, що переріз прямокутного паралелепіпеда площиною, яка проходить через точки В1, Д1 і К – середина СД, є трапеція ( рис. 1).

  2. АВСД А1В1С1Д1 – прямокутний паралелепіпед. Доведіть, що переріз його площиною, яка проходить через точки В, К, Р, де точка К – середина ребра АА1, а точка Р – середина ребра СС1, є паралелограм.

43



Урок № 2

Тема уроку: Паралельне проектування та його властивості. Зображення просторових фігур на площині.

Мета уроку: Формування знань про паралельне проектування; вивчення властивостей паралельного проектування; дати уявлення про зображення просторових фігур на площині; розвивати просторове уявлення; виховувати увагу, зосередженість і самостійність учнів.

Обладнання: стереометричний набір.

Хід уроку.

І. Організаційний момент уроку.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

1. Відповісти на запитання, які виникли в учнів при розв’язуванні домашньої задачі.

2. Провести самостійну роботу.


Варіант І

  1. Точка О лежить між паралельними площинами α і β. Прямі а і в, які проходять через точку О, перетинають площину α в точках А1 і В1, а площину β – в точках А2 і В2 відповідно. Знайдіть ОВ1, якщо А1О : А1А2 = 1:3, В1В2=15 см. (6 балів)

  2. У кубі АВСД А1В1С1Д1 побудуйте переріз площиною, яка проходить через точки А, В, К, де точка К – середина ребра СС1. Знайдіть периметр перерізу, якщо ребро куба дорівнює 2 см. (6 балів)

Варіант ІІ

    1. Паралельні площини α і β перетинають сторони <АВС в точках А1, С1, А2, С2 відповідно. Знайдіть ВС1, якщо А1В:А1А2= 1:3, ВС2=12 см. (6 балів)

    2. Побудуйте переріз куба АВСД А1В1С1Д1 площиною, яка проходить через точки А, В, С1. Знайдіть периметр перерізу, якщо ребро куба дорівнює 2 см.. (6 балів)

Варіант ІІІ

  1. На паралельних площинах α і β вибрано по парі точок А1, А2 і В1, В2 відповідно так, що прямі А1В1 і А2В2 перетинаються в точці О, яка лежить між площинами. Знайдіть ОА1, якщо А1В1=6 см, ОВ2 : ОА2=3. (6 балів)

  2. Побудуйте переріз куба АВСД А1В1С1Д1 площиною, яка проходить через точки А, М, N, де точки М і N – середини ребер В1В і Д1Д відповідно. Знайдіть периметр перерізу, якщо ребро куба дорівнює 2 см.. (6 балів)

Варіант IV

  1. На паралельних площинах α і β вибрано по парі точок А1, А2 і В1, В2 відповідно так, що прямі А1В1 і А2В2 перетинаються в точці О, яка не лежить між площинами. Знайдіть ОА1, якщо А1В1=6 см, ОВ2 : ОА2=3. (6 балів)

  2. Побудуйте переріз куба АВСД А1В1С1Д1 площиною, яка проходить через точки А, С, М, де точка М – середина ребра А1В1. Знайдіть периметр перерізу, якщо ребро куба дорівнює 2 см.. (6 балів)



Відповідь: Варіант І. 1) 5 см; 2) 2(2+√5) см.

Варіант ІІ. 1) 3 см; 2) 4(1+√2) см.

Варіант ІІІ. 1) 1,5 см; 2) 4√5 см.

Варіант IV. 1) 3 см; 2) 3√2+2√5 см.



ІІІ. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Паралельне проектування та його властивості

Для зображення просторових фігур у стереометрії користуються паралельними проектуванням. Пригадаємо, що це таке.

Нехай дано довільну площину α, точку А і пряму h, яка перетинає площину α. Проведемо через точку А пряму, яка паралельна прямій h, вона перетинає площину α у деякій точці А1. Знайдену таким способом точку А1 називають паралельною проекцією точки А на площину α у напрямі h. Пряму h називають проектуючою прямою, а площину α – площиною проекцій.






45
Щоб побудувати проекцію будь-якої фігури, треба спроектувати на площину проекції кожну точку даної фігури. Наведемо деякі властивості паралельного проектування.

Теорема.

Якщо відрізки, які проектуються, не паралельні проектуючій прямій, то при паралельному проектуванні:



  1. відрізки зображуються відрізками;

  2. паралельні відрізки зображаються паралельними відрізками або відрізками однієї прямої;

  3. відношення довжин паралельних відрізків і відрізків однієї прямої зберігається.

Доведення

  1. Усі прямі, що проектують точки відрізка АВ, лежать в одній площині β, яка перетинає площину α по прямій А1В1. Отже, проекцією відрізка є відрізок, причому довільна точка С відрізка АВ зображається точкою С1 відрізка А1В1.





  1. Нехай відрізки АВ і СД, які проектуються, паралельні. Усі прямі, що їх перетинають і паралельні h, заповнюють або частини однієї площини, або паралельних площин.


Ці частини площин перетинають площину α відповідно або по відрізках однієї прямої, або паралельних відрізках А1В1 і С1Д1.

46


  1. Якщо відрізки АВ і СД, які проектують, розміщені на одній прямій, то за теоремою про пропорційні відрізки маємо: А1В1 : С1В1 = АС : СВ.

Якщо відрізки АВ і СД паралельні, а їх проекції А1В1 і С1Д1 лежать на одній прямій, то АВВ2А2 – паралелограм. У цьому випадку А1В1 : С1Д1 = А2В2 : СД = АВ : СД. Нарешті, якщо А1В1 і С1Д1 даних відрізків АВ і СД не лежать на одній прямій, то побудуємо паралелограм СДКВ. Його проекція – паралелограм С1Д1К1В1. Отже, маємо: А1В1 : С1Д1 1В1 : В1К1 = АВ : СД.



Доведення третього твердження учні опрацьовують самостійно в групах зі своїми консультантами.

Виконання вправ

    1. При якому положенні відрізка відносно площини проекції його проекція: а) дорівнює самому відрізку; б) є точка?

    2. Відрізок проектується паралельно на площину. Як проектується середина відрізка на цю площину?

    3. Чи може проекція відрізка бути більша відрізка, який проектують?

    4. Чи можуть непаралельні прямі проектуватися в паралельні прямі?

    5. Як розташовані точки А і В відносно площини СДС1Д1? (рис.1)

    6. Площина фігури не паралельна напряму проектування. В яку фігуру проектується: а) трикутник; б) паралелограм?




Зображення просторових фігур

Розглянуті властивості паралельного проектування дають змогу наочно зображати просторові фігури на площині.


47

Зображенням фігури називається будь-яка фігура, подібна до паралельної проекції даної фігури на деяку площину.



Розв’язування задачі № 37 із підручника.

Дано паралельну проекцію трикутника. Як побудувати проекції медіан цього трикутника?



Розв’язання

    1. При паралельному проектуванні зберігається відношення відрізків прямої.

    2. Середина сторони трикутника проектується в середину проекції цієї сторони.

    3. Отже, проекції медіан трикутника будуть медіани його проекцій.

IV. Домашнє завдання. § 2, п. 13; контрольне запитання № 12;

Задача № 38.



V. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу



  1. Як виконується паралельне проектування?

  2. Що називається паралельною проекцією точки; фігури?

  3. Що є паралельною проекцією прямої; двох паралельних прямих?

  4. Чи зберігається при паралельному проектуванні довжина відрізків; величина кутів?

  5. В якому випадку відношення довжин проекцій відрізків дорівнює відношенню довжин відрізків, які проектують?

  6. Відрізок А1В1 – паралельна проекція відрізка АВ на площину α. (рис 2) Точка С лежить на відрізку АВ і А1В1 не лежать в одній площині;

    • проекція точки С на площину α на належить відрізку А1В1;

  • відрізки АВ і А1В1 не лежать в одній площині;

    • якщо АС : ВС = 2:3, то А1С1 : В1С1 =2:3;

  • якщо АС=СВ, то А1С1=2С1В1;

    • якщо АС=3 см, АВ=12 см, то А1С1 : А1В1=1:4.

48

Урок № 3




Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7




База даних захищена авторським правом ©uchika.in.ua 2020
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка