Особистісно орієнтоване навчання математики: сьогодення І перспективи


Харківський національний педуніверситет



Скачати 11.36 Mb.
Сторінка2/84
Дата конвертації09.11.2017
Розмір11.36 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   84

Харківський національний педуніверситет

Забезпечення якості вищої освіти має чіткий міжнародний вимір. Так конференції міністрів вищої освіти Європи (Прага, травень 2001р; Берлін, вересень 2003р.) у своїй постанові закликають працівників вищої освіти поліпшити роботу щодо розробки навчальних курсів програм, навчальних модулів на всіх рівнях з “європейським” змістом, орієнтацією та організацією. Проблема адаптування вітчизняної системи вищої освіти до загальноєвропейського освітнього простору є надзвичайно актуальною. Вона потребує, зокрема, якісної підготовки вчителів математики для середньої школи. Основна відповідальність за якісне і професійне викладання математичної дисципліни покладається на викладача, а тому важливого значення набуває правильно поставлена і добре продумана методика викладання математичних дисциплін, зокрема, геометрії і математичного аналізу. Кожна з цих дисциплін має свою специфіку, свій предмет і свою програму для викладання. Щоб досягти якості у навчанні цих дисциплін треба: знайти оптимальне співвідношення змісту та об’єму навчального матеріалу; дотримуватися математичної строгості і наочності; розкрити міжпредметні зв’язки цих дисциплін; досягти належної професійної орієнтації.



Автором досліджується проблема розширення міжпредметних зв’язків в навчальних курсах геометрії та математичного аналізу на базі таких понять, як конгруенція і процес факторизації.

Процес факторизації в курсі математичного аналізу

Відомо 3, яку важливу роль в навчальному курсі математичного аналізу відіграє властивість повноти числової прямої. Тільки побудова повної системи дійсних чисел дозволила, у відомих межах, обґрунтувати математичний аналіз. Велику роль відіграє властивість повноти метричного простору і у функціональному аналізі. У програмі цього курсу є теорема про поповнення метричного простору, доведення якої ґрунтується на процесі факторизації. Нехай (Е, ) – неповний метричний простір і F – множина всіх фундаментальних послідовностей елементів із Е. На множині F визначається відношення еквівалентної наступним чином: послідовність хn еквівалентна послідовності уn тоді і тільки тоді, коли (хn, уn) = 0. Далі розглядається фактор-множина F = F/ і у просторі F задається метрика  формулою: (х,у) = (хn, уn). Безпосередньо перевіряється, що F є повним метричним простором і, з точністю до ізометричності, простір Е F. Для ілюстрації важливості такого процессу наведемо приклади.

Приклад М1. Нехай Е = С00, 1 – простір поліномів, визначених на відрізку [0, 1]. Відносно метрики (f, g) = f(х) g(t) множина Е є метричним простором. Розглянемо послідовність поліномів:fk, де k=0,1,..., і fk(t)= 1+ t +...+ . Оскільки границя fk = lt і функція lt не є поліномом, то простір Е неповний. Наведений вище процес поповнювання дає простір F = С0, 1 – простір всіх неперервних функцій на 0, 1 і , як відомо, F – повний метричний простір, який містить у собі простір поліномів Е.

Приклад М2. Нехай Q – поле раціональних чисел. Його можна розглядати як метричний простір з метрикою (х, у) = х – у. Тоді вказаний процес поповнювання дає нам поле дійсних чисел R =Q.

Приклад М3. Нехай K – клас всіх множин і множини А, В K. Згідно означенню А і В називаються рівнопотужними. Якщо існує взаємно однозначне відображення А на В. Очевидно, відношення рівнопотужності є відношенням еквівалентності на K. Елементи фактор-множини K = K/ називаються кардинальними числами. Таким чином, якщо множина А K, то потужність цієї множини є клас еквівалентності (А), який позначається А. Першим нескінченим кардинальним числом є потужність N множини всіх натуральних чисел. Множини, рівнопотужні N, називаються зчисленними множинами.

Конгруенції і процес факторизації в геометрії

В основі всіх сучасних теорій евклідового простору лежить аксіоматика Г.Вейля, базовими поняттями якої є точка, вектор і число. Усі інші геометричні об’єкти визначаються (пряма, площина і т. п.). Такий підхід до побудови геометрії використовує три групи аксіом: аксіоми точок; аксіоми лінійного простору (евклідового); аксіоми теорії дійсних чисел.



Простота такої аксіоматики, її придатність для обґрунтування нових геометрій (проективної, гіперболічної, геометрії Рімана і т. п.) та багатовимірних просторів, алгоритмізація теорії на основі векторної алгебри зробили аксіоматику Вейля найбільш привабливою у сучасній геометрії та її різноманітних застосуваннях. Наступні приклади розкривають роль процесу факторизації в геометрії при визначенні нових геометричних фігур; нових геометрій і нових геометричних понять.

Приклад Г1 (побудова нових геометрій). Покажемо, як за допомогою процесу факторизації у схемі Вейля з’являються неевклідові геометрії (проективний простір і еліптична геометрія Рімана). Нехай V – векторний простір розмірності n + 1 над полем R дійсних чисел, а V – множина всіх ненульових векторів цього простору. Позначимо через відношення колінеарності векторів у множині V. Тоді є відношенням еквівалентності, а фактор-множина Р = V/ називається проективною геометрією розмірності n. Якщо додатково покласти, що V – евклідовий векторний простір, то Р = V/ називається еліптичною геометрією Рімана і позначається Sn. Оскільки у проективній геометрії Р, кожні дві прямі, що лежать в одній площині, перетинаються, то це свідчить про те, що Р – неевклідова геометрія.

Приклад Г2 (визначення геометрії фігури). Нехай L – гіперболічна площина і (d) – пучок паралельних прямих на L, який визначається прямою d = (СD). Для точок площини L введемо бінарне відношення наступним чином. Будемо говорити, що дві точки А, В із L знаходяться у відношенні , якщо вони або співпадають, або пряма АВ є січною рівного нахилу до прямих пучка (d), що проходять через точки А і В:

=

Можна показати, що є відношенням еквівалентності на множині точок площини L. Кожний елемент фактор-множини L = L/ називається орициклом. Відомо, що всяка пряма, яка лежить у площині орицикла, перетинає його не більш ніж у двох точках. Інші властивості цієї кривої можна знайти у спеціальних підручниках, присвячених геометрії Лобачевского 4.



Приклад Г3 (визначення кривої в диференційній геометрії). Нехай І, І – довільні одномірні многовиди (з межею або без) геометричної прямої R і Мk – деякий k-мірний многовид (k  1) (випадок І = І не включається). Ми будемо говорити, що два занурення f: І Мk і g: І Мk знаходяться у відношенні , якщо існує такий гомоморфізм h: І І, що f = gh, тобто наступна діаграма комутативна:

Безпосередньо перевіряється, що є відношенням еквівалентності на множині усіх занурень L. Кожний клас еквівалентності = (f) називається лінією (або кривою) у многовиді Мk. Кожне занурення f: І Мk однозначно визначає криву у многовиді Мk. Занурення f називається також параметризацією кривої . Аналогічно визначається поняття гладкої кривої класу Сk, k  1, евклідового простору Е3: це клас Сk – еквівалентних занурень числових проміжків І у простір Е3.



Приклад Г4 (визначення орієнтації евклідової площини). Строгий підхід до визначення орієнтації геометричної площини призводить до наступних математичних викладок. Нехай V – лінійний простір усіх векторів геометричної площини Е. На множині В усіх векторних базисів простору V визначаємо бінарне відношення наступним чином: два базиса А і С із В називаються еквівалентними (тобто (А, С) ) тоді і тільки тоді, коли визначник матриці переходу від базиса А до базиса С є додатнім. Далі доводиться, що є відношенням еквівалентності на множині В, причому фактор-множина В/ містить рівно два елемента (два класи еквівалентних базисів), кожний із яких називається орієнтацією геометричної площини Е.

Приклад Г5 (на доведення). Нехай Е – евклідова площина і G – група рівномірно-розривних рухів цієї площини. На множині точок площини Е визначено відношення наступним чином: дві точки А і В знаходяться у відношенні тоді і тільки тоді, коли існує такий рух f  G, що f(А) = В. Очевидно, – відношення еквівалентності на Е. Фактор-множину Е = Е/ називаємо новою геометрією. Використовуючи опис всіх рівномірнорозривних груп, одержуємо п’ять типів геометрій, які у достатньо малих околах точок співпадають з евклідовою площиною: геометрія евклідової площини; геометрія циліндра; геометрія тора; геометрія циліндра зі скрутом; геометрія Клейна.

Висновок. Проведений аналіз та наведені приклади показують, що процес факторизації:

а) успішно використовується як інструмент і як об’єкт дослідження в геометрії та математичному аналізі;

б) поняття еквівалентності і поняття фактор-множини дають зручний спосіб визначення нових математичних об’єктів і нових математичних теорій (геометрій);

в) оволодіння таким процесом є важливим фактором для якісної фахової підготовки майбутніх вчителів математики.





Каталог: zbirnuk
zbirnuk -> Міністерство освіти І науки україни міжнародний економіко-гуманітарний університет імені академіка степана дем’янчука психолого-педагогічні основи гуманізації навчально-виховного процесу в школі та внз
zbirnuk -> Наукові праці викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
zbirnuk -> Звітна наукова конференція викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
zbirnuk -> Наукові праці викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
zbirnuk -> Наукові праці викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
zbirnuk -> Наукові праці викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
zbirnuk -> Міністерство освіти І науки україни міжнародний економіко-гуманітарний університет імені академіка степана дем’янчука психолого-педагогічні основи гуманізації навчально-виховного процесу в школі та внз
zbirnuk -> Наукові записки Матеріали звітної наукової конференції викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету

Скачати 11.36 Mb.

Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   84




База даних захищена авторським правом ©uchika.in.ua 2020
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка