Означення. Многокутник називають

 

Означення. Многокутник називають правильним, якщо у нього всі сторони рівні і всі кути рівні.

З деякими правильними многокутниками ви вже знайомі: рівносторонній трикутник — це правильний трикутник, квадрат — це правильний чотирикутник.

На рисунку зображено правильні п’ятикутник і восьмикутник:

 

Теорема 6.1. Правильний многокутник є опуклим многокутником.

З доведенням цієї теореми ви можете познайомитися в додаткових матеріалах до цієї теми.

 

Кожний кут правильного n-кутника дорівнює .

Дійсно, оскільки сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180(n – 2) і всі вони рівні, то кожний з них дорівнює .

 

Теорема 6.2. Будь-який правильний многокутник є одночасно вписаним і описаним, причому центри описаного і вписаного кіл збігаються.

На рисунку зображено правильний n-кутник A₁A₂A₃...A_n.

 Проведемо бісектриси кутів A₁ і A₂. Нехай O — точка їх перетину.

 З’єднаємо точки O і A₃.

Оскільки в трикутниках OA₁A₂ і OA₂A₃ 2 = 3, A₁A₂ = A₂A₃ і OA₂ — спільна сторона, то ці трикутники рівні за першою ознакою рівності трикутників. Крім того, кути 1 і 2 рівні як половини рівних кутів. Звідси трикутник OA₁A₂ — рівнобедрений, а отже, рівнобедреним є трикутник OA₂A₃. Тому OA₁ = OA₂ = OA₃.

З’єднуючи точку O з вершинами A₄, A₅, ..., A_n – 1, A_n, аналогічно можна показати, що OA₃ = OA₄ = ... = OA_n – 1 = OA_n.

Таким чином, для многокутника A₁A₂A₃...A_n існує точка, рівновіддалена від усіх його вершин. Отже, ця точка O — центр описаного кола.

Оскільки рівнобедрені трикутники OA₁A₂, OA₂A₃, OA₃A₄, ..., OA_n – 1A_n, OA_nA₁ рівні, то рівні й висоти, проведені з вершини O. Звідси доходимо висновку, що точка O рівновіддалена від усіх сторін многокутника. Отже, точка O — центр вписаного кола.

Точку, яка є центром описаного і вписаного кіл правильного многокутника, називають центром правильного многокутника.

На рисунку зображено фрагмент правильного n-кутника з центром O і стороною AB, довжину якої позначимо a_n.

Кут AOB називають центральним кутом правильного многокутника. Зрозуміло, що AOB = .

Відрізки OB і OM — радіуси описаного і вписаного кіл правильного n-кутника. Якщо їх довжини позначити R і r відповідно, то отримані результати можна записати у вигляді формул:

Підставивши у ці формули замість n числа 3, 4, 6, отримаємо