Правильні многокутники та їх властивості
Означення. Многокутник називають правильним, якщо у нього всі сторони рівні і всі кути рівні.
З деякими правильними многокутниками ви вже знайомі: рівносторонній трикутник — це правильний трикутник, квадрат — це правильний чотирикутник.
На рисунку зображено правильні п’ятикутник і восьмикутник:
Теорема 6.1. Правильний многокутник є опуклим многокутником.
З доведенням цієї теореми ви можете познайомитися в додаткових матеріалах до цієї теми.
Кожний кут правильного n-кутника дорівнює .
Дійсно, оскільки сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180(n – 2) і всі вони рівні, то кожний з них дорівнює .
Теорема 6.2. Будь-який правильний многокутник є одночасно вписаним і описаним, причому центри описаного і вписаного кіл збігаються.
Доведення.
На рисунку зображено правильний n-кутник A1A2A3...An.
Проведемо бісектриси кутів A1 і A2. Нехай O — точка їх перетину.
З’єднаємо точки O і A3.
Оскільки в трикутниках OA1A2 і OA2A3 2 = 3, A1A2 = A2A3 і OA2 — спільна сторона, то ці трикутники рівні за першою ознакою рівності трикутників. Крім того, кути 1 і 2 рівні як половини рівних кутів. Звідси трикутник OA1A2 — рівнобедрений, а отже, рівнобедреним є трикутник OA2A3. Тому OA1 = OA2 = OA3.
З’єднуючи точку O з вершинами A4, A5, ..., An – 1, An, аналогічно можна показати, що OA3 = OA4 = ... = OAn – 1 = OAn.
Таким чином, для многокутника A1A2A3...An існує точка, рівновіддалена від усіх його вершин. Отже, ця точка O — центр описаного кола.
Оскільки рівнобедрені трикутники OA1A2, OA2A3, OA3A4, ..., OAn – 1An, OAnA1 рівні, то рівні й висоти, проведені з вершини O. Звідси доходимо висновку, що точка O рівновіддалена від усіх сторін многокутника. Отже, точка O — центр вписаного кола.
Точку, яка є центром описаного і вписаного кіл правильного многокутника, називають центром правильного многокутника.
На рисунку зображено фрагмент правильного n-кутника з центром O і стороною AB, довжину якої позначимо an.
Кут AOB називають центральним кутом правильного многокутника. Зрозуміло, що AOB = .
У рівнобедреному трикутнику AOB проведемо висоту OM. Тоді AOM = BOM = , AM = MB = . З OMB і .
Відрізки OB і OM — радіуси описаного і вписаного кіл правильного n-кутника. Якщо їх довжини позначити R і r відповідно, то отримані результати можна записати у вигляді формул:

Підставивши у ці формули замість n числа 3, 4, 6, отримаємо
Поділіться з Вашими друзьями: |