Означення. Многокутник називають



Скачати 179.99 Kb.
Сторінка1/3
Дата конвертації11.05.2017
Розмір179.99 Kb.
  1   2   3
Правильні многокутники та їх властивості

 

Означення. Многокутник називають правильним, якщо у нього всі сторони рівні і всі кути рівні.

З деякими правильними многокутниками ви вже знайомі: рівносторонній трикутник — це правильний трикутник, квадрат — це правильний чотирикутник.

На рисунку зображено правильні п’ятикутник і восьмикутник:



 

Теорема 6.1. Правильний многокутник є опуклим многокутником.

З доведенням цієї теореми ви можете познайомитися в додаткових матеріалах до цієї теми.

 

Кожний кут правильного n-кутника дорівнює .

Дійсно, оскільки сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180(n – 2) і всі вони рівні, то кожний з них дорівнює .

 

Теорема 6.2. Будь-який правильний многокутник є одночасно вписаним і описаним, причому центри описаного і вписаного кіл збігаються.



Доведення.

На рисунку зображено правильний n-кутник A1A2A3...An.



 Проведемо бісектриси кутів A1 і A2. Нехай O — точка їх перетину.

 З’єднаємо точки O і A3.

Оскільки в трикутниках OA1A2 і OA2A3 2 = 3, A1A2 = A2A3 і OA2спільна сторона, то ці трикутники рівні за першою ознакою рівності трикутників. Крім того, кути 1 і 2 рівні як половини рівних кутів. Звідси трикутник OA1A2 — рівнобедрений, а отже, рівнобедреним є трикутник OA2A3. Тому OA1 = OA2 = OA3.

З’єднуючи точку O з вершинами A4, A5, ..., An  1, An, аналогічно можна показати, що OA3 = OA4 = ... = OAn – 1 = OAn.

Таким чином, для многокутника A1A2A3...An існує точка, рівновіддалена від усіх його вершин. Отже, ця точка O — центр описаного кола.

Оскільки рівнобедрені трикутники OA1A2, OA2A3, OA3A4, ..., OAn – 1An, OAnA1 рівні, то рівні й висоти, проведені з вершини O. Звідси доходимо висновку, що точка O рівновіддалена від усіх сторін многокутника. Отже, точка O — центр вписаного кола.

 

Точку, яка є центром описаного і вписаного кіл правильного многокутника, називають центром правильного многокутника.



 

На рисунку зображено фрагмент правильного n-кутника з центром O і стороною AB, довжину якої позначимо an.



Кут AOB називають центральним кутом правильного многокутника. Зрозуміло, що AOB = .



У рівнобедреному трикутнику AOB проведемо висоту OM. Тоді AOM =  BOM = , AM = MB = . З OMB  і .

Відрізки OB і OM — радіуси описаного і вписаного кіл правильного n-кутника. Якщо їх довжини позначити R і r відповідно, то отримані результати можна записати у вигляді формул:



 

Підставивши у ці формули замість n числа 3, 4, 6, отримаємо


Каталог: Files -> downloads
downloads -> Урок 2 Тема. Архітектура кам'яний літопис століть
downloads -> Уроках «Художньої культури»
downloads -> Науковий керівник : учитель стасюк о. С. Консультанти: батьки, бібліотекар, вчитель географії
downloads -> Реферат з основ корекційної педагогіки та спеціальної психології на тему: Психолого-педагогічна допомога сім'ям, які мають дітей з порушенням у розвитку
downloads -> Образотворче мистецтво
downloads -> Чернігівська міська централізована бібліотечна система
downloads -> Особливості розвитку культури Галицько – Волинської держави
downloads -> Визначні місця України краю незвіданих красот
downloads -> Розрахунок сил І засобів по ліквідації нс


Поділіться з Вашими друзьями:
  1   2   3


База даних захищена авторським правом ©uchika.in.ua 2019
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка