Розділ Елементи теорії множин 1 Множина та її елементи. Підмножина. Рівні множини


Найбільший спільний дільник, найменше спільне кратне двох натуральних чисел



Скачати 205.91 Kb.
Сторінка5/5
Дата конвертації19.03.2019
Розмір205.91 Kb.
#84826
1   2   3   4   5

3. Найбільший спільний дільник, найменше спільне кратне двох натуральних чисел.

  • Найбільшим спільним дільником (НСД) декількох чисел називають найбільше число, на яке кожне з даних чисел ділиться без остачі.

  • У 6 класі учні знайомляться з способом знаходження НСД(m; n) за допомогою розкладання даних чисел на прості множники. Цей спосіб достатньо простий, легкий і зручний. Але він має суттєвий недолік: якщо дані числа великі, та ще й не дуже легко розкладаються на множники, то знайти НСД стає досить складною. До того ж, доволі попрацювавши, ми можемо дістати, що НСД(m; n)=1, і тоді вся робота виконана марно, тобто числа m і n – взаємно прості. Евклід знайшов чудовий спосіб знаходження НСД без попереднього опрацювання чисел. Цей спосіб називають алгоритмом Евкліда. Щоб знайти НСД двох натуральних чисел, треба спочатку більше число розділити на менше, потім менше число ділимо на остачу від ділення, а потім остачу від першого ділення ділимо на остачу від ділення другого і т.д. Остання в цьому процесі остача, яка не дорівнює нулю, і буде НСД даних чисел.

  • Наприклад, знайдемо НСД (102;84). Розглянемо ланцюжок рівностей:

  • НСД (102;84)= НСД (84;18)= НСД (18;12)= НСД (12;6)= НСД (6;0)=6.

  • Найменше спільне кратне НСК двох цілих чисел a, b називаємо найменше натуральне число, яке є кратним обох цих чисел. Позначаємо НСК(a, b). Отже НСК (a, b) є найменшим натуральним числом, яке ділиться без залишку на обидва числа a, b. Є різні способи знаходження спільного кратного кількох чисел. У 6 класі дається такий спосіб: Для знаходження спільного кратного двох чисел треба: 1) розкласти дані числа на прості множники; 2) доповнити розклад одного з них тими множниками розкладу другого числа, яких немає в розкладі першого; 3) обчислити добуток знайдених множників.

  • Розглянемо інший спосіб знаходження НСК(a, b), застосувавши теорему, що НСК (a, b)· НСД (a, b)= a · b.

  • Приклад: знайдіть НСК (a, b) та НСД (a, b), якщо а=1260, b=270. Знайдемо НСД (1260, 270)= НСД (990, 270)= НСД (270, 180)= НСД (180, 90)= =НСД (180, 90)=90.

  • НСК (1260, 270)· НСД (270, 180)= 1260· 270;

  • НСК (1260, 270) = 1260 · 270/90=1260·3=3780.

  • Задачі для самостійного розв’язування.

    1. Знайдіть НСД (72;108), НСД (210;294).

    2. Встановіть чи є числа 154 і 165 та 14332 і 8156 взаємно простими.

    3. Знайдіть натуральні числа a і b, якщо НСД (а; b)=7, НСК (а; b)=1001.

    4. Дерев'яний брусок завдовжки 48 см, завширшки 30 см і заввишки 24 см потрібно розрізати без відходів на найменшу кількість рівних кубів. Скільки кубів одержимо?

    1. 4. Прості і складені числа.

    2. Запроваджуючи поняття «просте число», «складене число», потрібно звертати увагу на те, щоб учні правильно формулювали означення і в разі наявності помилки у сформульованому означенні відразу наводили контр приклад. Практика свідчить, що в означені простого числа деякі учні забувають слово «лише» і формулюють означення так: натуральне число називають простим, якщо воно має два різних дільники. Контрприклад: число 6 має два різких дільники 2 і З, але не є простим.

    3. Натуральне число р називається простим, якщо воно має лише два різних натуральних дільника: одиницю і р.

    4. Натуральне число, яке має більш ніж два натуральних дільники, називають складеним.

    5. Варто зауважити, що число 1 не є ні простим числом, ні складеним.

    6. Теорема Евкліда. Не існує найбільшого натурального простого числа (множина простих чисел нескінченна).

    7. Основна теорема арифметики, теорема К. Гаусса. Будь-яке натуральне число, більше одиниці, або є простим, або може бути представлене у вигляді добутку простих чисел і таке представлення є єдиним з точністю до порядку множників.

    8. Мала терема Ферма. Якщо натуральне число а не ділиться націло на просте число р, то ар-11 (.

    9. Для розв´язування задач зручно використовувати наслідок з теореми. Для будь-якого натурального числа а і простого р виконується ар (.

    10. Наприклад, довести, що 4247+4742 є складеним числом. Оскільки число 43 просте і 42<43<47, розглянемо конгруенції, використовуючи малу теорему Ферма:

    11. 4243 ( та 4743 (

    12. 4247 ( та 4742 (

    13. ().

    14. Додамо почленно конгруенції + 4742 (. Отже, значення виразу 4247+4742 кратне 43, є складеним.





























    15. Теми «Множини та операції над ними» і «Основи теорії подільності» в шкільному курсі алгебри зустрічаються у курсі алгебри 8 класу поглибленого вивчення математики. При викладанні цих тем виникає ряд труднощів: відсутність методичних матеріалів щодо викладу матеріалу, дидактичних посібників для проведення самостійних, контрольних робіт, індивідуальної роботи з учнями.

    16. У роботі розглянуто найважливіші властивості і теореми, наведено приклади розв´язування задач, що дозволяють сформувати навички розв´язування завдань не тільки шкільного курсу математики, а й олімпіадних задач. У додатках запропоновані орієнтовні контрольні роботи з вище згаданих тем.

    17. Нестандартні задачі розширюють уявлення школярів про різноманітні ідеї, методи, які забезпечують їх розв’язування. Проте важливо й інше: підібрані задачі спонукають школярів до висування й обґрунтування певних гіпотез, пошуку та відсіювання неправильних припущень, побудови фрагментарних теоретичних узагальнень, сприяючи у такий спосіб формуванню у школярів творчого, евристичного мислення, а також прагнення до дослідницької діяльності. Саме до таких задач і відносять різноманітні задачі з теорії чисел. Задачі такого типу приваблюють юних математиків. Їхні умови часто зрозумілі навіть учням молодших класів, проте розв’язування цих задач потребує глибоких знань та винахідливості.

    18. Запропоновані завдання допоможуть виробити вміння використовувати ознаки подільності, теореми і означення, робити правильні висновки та узагальнення. Щоб їх розв’язати, потрібні глибокі знання з математики.











































    19. Список використаних джерел

    1. Бевз Г.П. Методика викладання математики: Навчальний посібник для студентів фізико- математичного факультету педагогічних інститутів. 3-тє вид.-К.:вища школа, 1989.-367 с. 4.

    2. Гаврилюк С. Добуток двох послідовних натуральних чисел. Рекомендація вчителям математики, які працюють з обдарованими дітьми. // Математика. – 2001. – №36 (вересень). – С. 2–3

    3. Гаврилюк С. Подільність чисел // Математика. – 2001 – №44 (листопад).-С. 6–7

    4. Завало С.Т., Костарчук В.М., Хацет Б.І. Алгебра теорія чисел Ч. 2.:Підручник для студентів фізико-математичних факультетів педагогічних інститутів.-К.:Вища школа. Головне видавництво, 1974. – 236 с.

    5. Калужнін Л.А. Основна теорема арифметики і цілі Гаусові числа // У світі математики. – 1970.- вип. 2.-С. 7–39

    6. Каплук А. НОД і НОК в задачах // Математика. – 1999. – №4.-С. 37–40

    7. Лимаренко О.М., Ушаков Р.П. Подільність чисел. // У світі математики.-К.:1991, вип. 20.-С. 219– 221

    8. Муратова Е. Прості числа. Так чи проста їх історія? // Математика. – 2002. – №13 (квітень).- С. 17–20

    9. Розв’язуємо разом.-Х.:Вид. група «Основа», 2003.-144 с.

    10. Рубан О.В. Задачі на подільність. // Математика. – 2004. – №13 (265) квітень.-С. 20–23

    1. 11. Слєпкань З.І. Методика навчання математики: Підруч. для студ. мат. спеціальностей пед. навч. закладів.-К.:Зодіак-ЕКО, 2000. – 512 с.

    2. 12. Хмара Т.М. Наступність у формуванні уявлень про подільність чисел // Початкова школа. – 1995. – №6.-С. 43–47









    3. Додаток А

    4. Контрольна робота «Множини. Операції над множинами»

      1. Варіант 1

      1. Варіант 2

      1. Запишіть множину цифр, за допомогою яких утворене число:

      1. 203425

      1. 501611

      1. Запишіть за допомогою характеристичної властивості множини:

      1. B={1; 4; 9; 16; 25; 36; …}

      1. А={5; 10; 15; 25; 30; 35…}

      1. Нехай А, В, С – множини коренів рівнянь відповідно. Знайдіть А, В В\С.

      1. х2=4

      2. (х+1)(х—2)=0





      1. (х+4)(х—3)=0

      2. х2=16

      1. Знайдіть А∩ВС, якщо

      1. А={-3; -2; 0; 3; 5}, В={-2; 3; 5; 7},

      2. С={ -2; 4}.

      1. А={-5; -3; 0; 1; 4; 7}, В={-2; 4; 5; 7},

      2. С={-2; -3; 4; 7}.

      1. Вкажіть кількість елементів множини простих дільників числа

      1. 2475

      1. 3024

      1. Розв´яжіть задачу.

      1. З класу в якому навчається 35 учнів, 12 учнів брали участь у конкурсі декламаторів віршів, 10 – у конкурсі на кращий малюнок, 4 брали участь в обох конкурсах. Скільки учнів не брали участі у конкурсах взагалі?

      1. З класу в якому навчається 36 учнів, 10 учнів брали участь в олімпіаді з фізики, 14 – в олімпіаді з математики, 6 учнів в обох олімпіадах. Скільки учнів не брали участі в олімпіадах взагалі?

      1. Розв´яжіть задачу.

      1. У міжнародній конференції брали участь 120 осіб. З них 60 володіють українською мовою, 48 – англійською, 32 – німецькою, 21 – українською та німецькою мовами, 19 – англійською і німецькою, а 10 осіб володіють трьома мовами. Скільки учасників конференції на володіють жодною з цих мов?

      1. У класі 44 учні, кожен з них вивчає хоча б одну іноземну мову. Відомо, що 25 учнів вивчають англійську мову, 28 – німецьку, 26 – французьку, 15 учнів вивчають англійську і німецьку, 13 – німецьку і французьку, 5 учнів вивчають усі три мови. Скільки учнів вивчають англійську і французьку?





    5. Додаток Б

    6. Контрольна робота «Основи теорії подільності»

      1. Варіант 1

      1. Варіант 2

      1. 1. Знайдіть НСД(2835; 2625)

      1. 1. Знайдіть НСД(1225; 735)

      1. 2.Знайдіть невідомі цифри числа, щоб воно ділилося на 36.

      1. 2.Знайдіть невідомі цифри числа, щоб воно ділилося на 45.

      1. 3. Знайдіть два натуральних числа, для яких НСК(а; b)=315,НСД(а; b)=9.

      1. 3. Знайдіть два натуральних числа, для яких НСК(а; b)=140,НСД(а; b)=4.

      1. 4. Розв´яжіть рівняння в цілих числах:

      1. 2x2-5xy+3y2=2

      1. 2y2+3xy+x2=2

      1. 5. Знайдіть остачу від ділення числа 7100+11100 на 13.

      1. 5. Знайдіть остачу від ділення числа 6592 на 11.

      1. 6. Розв´яжіть рівняння:

      2. х4 + 3х3 - 4х2 - 15х - 9=0

      1. 6. Розв´яжіть рівняння:

      2. х4 + 3х3 - 2х2 - 6х +4 =0




  • Каталог: Newsayt -> Materialu
    Materialu -> Сучасні підходи до формування в учнів навичок фізичного самонавчання
    Materialu -> Тема. Морський пейзаж. Колір води. Художньо творче завдання «Подорож до моря»
    Materialu -> Лешкевич В. В., Лешкевич А. П
    Materialu -> Конкурс методичних розробок учителів світової літератури, присвячений 120-річчю
    Materialu -> У e n g L i s h 9th f o r m правління освіти виконавчого комітету шепетівської міської ради методичний кабінет
    Materialu -> Тема. Велика буква у кличках тварин. Вправи на закріплення написання кличок тварин
    Materialu -> Уроків з української мови з теми «Слово. Значення слова»
    Materialu -> Урок 121 Перевірте домашню роботу. Задача 1008 1)3*8=24(м)-витратили на сукні. 2)76-24=52
    Materialu -> Управління освіти Шепетівського міськвиконкому Методичний кабінет Розробки занять гуртка

    Скачати 205.91 Kb.

    Поділіться з Вашими друзьями:
    1   2   3   4   5




    База даних захищена авторським правом ©uchika.in.ua 2022
    звернутися до адміністрації

        Головна сторінка