Урок 2 Тема. Предмет комбінаторики. Правила добутку. Мета: ознайомити учнів з особливостями комбінаторних задач, научити учнів узагальнювати суттєві ознаки і



Сторінка1/13
Дата конвертації25.11.2018
Розмір410 Kb.
ТипУрок
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
Урок 2

Тема. Предмет комбінаторики. Правила добутку.

Мета: ознайомити учнів з особливостями комбінаторних задач, научити учнів узагальнювати суттєві ознаки і відділяти несуттєві, показати зв’язок комбінаторики з життєвою практикою.

Обладнання: кодоскоп.


Хід уроку.

  • Вступна бесіда

На екран проектуються задачі: 1) Художнику необхідно скласти композицію картини, із зображенням п'яти чоловік. Скількома способами це можна зробити?; 2) Господарю необхідно розсадити 7 гостей за столом. Скількома способами це можна зробити?; 3) Фотографу потрібно розставити четверо дівчат перед об’єктивом. Скількома способами це можна зробити? Ставиться завдання — виділити істотні ознаки цих задач і назвати несуттєві, щоб усвідомити особливості даного класу задач. Аналізуються знання про істотні і несуттєві ознаки, пригадується правил-орієнтир індуктивного узагальнення. Встановлюється, що зміст задач різний. Вичленовується разом з учнями істотне. Подальші пошуки йшли у формі евристичної бесіди з показом зразка міркувань учителем. Учні помітили, що загальним є питання задач (це одна абстракція). Потім пояснює вчитель: «Для виділення другого узагальнення потрібно намагатися відійти від конкретного змісту кожної задачі й осмислити її «кістяк», переформулювати задачі, використавши термін «елементи». Між виділеними абстракціями намагаються установити зв'язки, сформулювати нове узагальнення (тепер це повинні і можуть зробити самі учні). Колективно встановлюється, що загальним для цих задач є складання можливої кількості наборів з елементів. Для виділення нових загальних властивостей - навідні запитання: «Про яку кількість елементів мова йде? Яке питання з погляду математики найчастіше ставить практика а такі задачі? Учні визначили, що мова йде про скінчене число елементів множини і що часто необхідно знати максимальне число можливих варіантів.

Підводиться підсумок: існує клас задач, у яких дане скінчене число елементів і потрібно визначити максимальне число різних комбінацій з цих елементів (узагальнення істотних ознак). Підкреслюються несуттєві ознаки (зміст задач може бути різним), після чого вводиться означення комбінаторики.



КОМБІНАТОРИКА – розділ математики, у якому вивчаються різні питання, зв'язані з взаємним розташуванням частин даної множини, що складає звичайно з кінцевого числа елементів.

Комбінаторні задачі володіють загальною особливою прикметою. Цією прикметою є питання задачі, що завжди можна сформулювати так, що він буде починатися словами: «Скількома способами...?». Комбінаторні задачі розрізняються по підходах до розв’язання. Розглянемо деякі основні комбінаторні ідеї, що лежать в основі розв’язання деяких з них.

Розглянемо перший вид задач на прикладі:

У магазині «Тканини» є тканини чотирьох кольорів і шість видів стрічки до них. Скількома способами можна купити тканину й стрічку для плаття?



Розв’язання. Спочатку виберемо тканину, це можна зробити чотирма способами. У комплект до неї (до кожного з чотирьох способів) можна підібрати шістьма способами стрічку, тобто можна підібрати чотири рази по шість комплектів: 4·6 = 24. Усього існує 24 способи.

При розв’язуванні такого виду задач застосовується правило добутку: Нехай нам дані k множини по n1, n2, n3,, n4,... ,nk елементів кожне, і нам потрібно зробити вибір по одному в кожній з множин, тоді число можливих способів знаходимо так:



N = n1 n2 n3 n4 ...nk.

  • Розв’язування вправ

1. У магазині «Сувеніри» є свічники шести видів і три види вазочок до них. Скількома способами можна скласти подарунковий комплект зі свічника і вазочки?

Розв’язання. Вазочку можна вибрати шістьма способами і до кожної вазочки трьома способами можна підібрати свічник: 6·3 = 18 способів.

2. У магазині «Усе до чаю» маються в продажі шість видів різних чашок, п'ять видів блюдець і три види ложок. Скількома способами можна скласти набір із трьох предметів?

Розв’язання. Чашку можна вибрати шістьма способами, до кожної із шести чашок можна підібрати п'ятьма способами блюдце, до кожного з 30 комплектів чашки з блюдцем можна підібрати трьома способами ложку:



6·5·3 = 90 способів.

3. Від Гулівера в країну Ліліпутів ведуть три секретні дороги, а в країну Велетнів – чотири. Скількома способами Гуліверу можна потрапити в країну Велетнів?

Розв’язання. 3·4 = 12 способів (мал. 11).

4. Скількома способами можна поставити на шахівницю чорну і білу тури, щоб вони не били одна одну?

Розв’язання. Першу туру можна поставити на кожне з 64 полів. У цьому положенні тура буде бити 15 полів (включаючи те, на якому вона стоїть). Отже, другу туру можна поставити 64–15 = 49 способами. Усього маємо

64·49 = 3136 способів.


Випадок

В куті дошки

На краю дошки

У центрі дошки

Скільки способів розміщення першого короля

4

24

36

Скільки полів б’є

4

6

9

Скільки полів залишається для другого короля

60

58

55

Скільки способів розміщення

4·60=240

24·58=1008

36·55=1980

5. Скількома способами можна поставити на шахівницю чорного і білого королів, щоб вийшла ситуація, припустима правилами?

Розв’язання. Задача розбивається на кілька випадків, що зручно записати у вигляді таблиці:



Випадок

На краю дошки

У другому ряді від краю дошки

У третьому ряді від краю дошки

У четвертому ряді від краю дошки

Скільки способів розміщення першого ферзя

28

20

12

4

Скільки полів б’є

22

24

26

28

Скільки полів залишається для другого ферзя

42

40

38

36

Скільки способів розміщення

28·42=1176

20·40=800

12·38=456

4·36=144

Всього 240+1008+1980=3228 способів.



  • Домашнє завдання

6. Скількома способами можна поставити на шахівницю чорного і білого ферзів, щоб вони не били один одного?

Розв’язання. Аналогічно задачі про королів виходить кілька випадків, що зручно записати у виді таблиці:


Всього 1176+800+456+144=2576 способів.

7. У магазині «Канцелярські товари» є в продажі шість видів кольорових олівців, сім видів фарб і п'ять видів кольорового папера. Скількома способами можна скласти комплект для уроків художньої праці, що складається з коробки кольорових олівців, фарб і набору кольорового паперу?

Розв’язання: 6·7·5 = 210 (способів)

8. Скількома способами можна скласти в попередній задачі комплект із двох предметів?

Розв’язання. Скласти комплект із двох предметів можна трьома способами:




Олівці і фарби

Фарби і кольоровий папір

Кольоровий папір й олівці

Кількість способів

6·7=42

7·5=35

6·5=30

Всього 42 + 35 + 30 = 107 способів.



Урок 3


Тема: Введення в комбінаторику. Правила добутку

Мета: научити учнів розв’язувати задачі за допомогою правила добутку, закріпити вміння закріпити вміння виділяти істотні зв’язки.

Обладнання: дидактичні матеріали


Хід уроку.

  • Перевірка домашнього завдання.

Перевірка наявності ДЗ в зошиті, з’ясування проблем, які виникали в учнів при розв’язувані.

  • Пояснення нового матеріалу

Другу групу задач розглянемо на прикладі:

Скільки п'ятизначних чисел можна скласти, використовуючи тільки цифри 3 і 5.

Розв’язання. Першу цифру можна вибрати двома способами, другу – також двома способами, третю – двома і так далі. Одержуємо:

N = 2·2·2·2·2 = 25.

У даній задачі порядок розташування об'єктів не має значення, зате має значення, які саме об'єкти обрані з деякої множини. Наприклад, з 25 учнів класу обрані 5 учасників команди інтелектуального марафону і т.п.

Узагальнимо: на кожне з п місць може бути поставлений елемент m – елементної множини. Тоді кількість способів розташування елементів можна знайти за формулі mn.



  • Розв’язання вправ

9. Монету кидають тричі. Скільки різних послідовностей «орлів» і «решок» при цьому можна одержати?

Розв’язання: 23 = 8 різних послідовностей.

10. Рекламний агент складає ескіз рекламного щита. Він надумав зробити тло у вигляді квадратної таблиці 2·2, кожну клітку якої зафарбувати або в зелений, або в жовтий колір. Скількома способами це можна зробити?

Розв’язання. 24 = 16 різних способів.

11. На скількох збільшиться число способів у попередній задачі, якщо зробити таблицю 3·3?

Розв’язання: 29 = 512 способів пофарбувати таблицю 3• 3. Число способів збільшиться на 512 – 16 = 496.

12. Алфавіт племені Мумбо-Юмбо складається з букв А, У і С. Словом є будь-як послідовність, що складається з 4 букв. Скільки слів у мові племені Мумбо-Юмбо?

Розв’язання: 34 = 81 слово.

13. «Знову вісімка!» – в розпачі вигукнув голова клуба велосипедистів, глянувши на погнуте колесо свого велосипеда, і продовжив: «А все тому, що при вступі в клуб мені видали квиток за номером 008. І тепер не проходить і місяця, щоб то на одному, то на іншім колесі не з'явилася вісімка. Треба поміняти номер квитка». Щоб голову не обвинуватили в марновірстві, він вирішив оголосити повну перереєстрацію всіх членів клуба і видавати тільки квитки з номерами, що не містять цифру 8. Скільки членів було в клубі, якщо відомо, що використано всі тризначні номери, що не містять ні однієї вісімки?

Розв’язання: 93 = 729 членів у клубі велосипедистів.



  • Домашнє завдання

14. З часом наука в племені Мумбо-Юмбо різко ступнула вперед і словниковий запас збільшився. Словом стала вважатися будь-яка послідовність, що складається не більш ніж з 4 букв. Скільки слів стало в словнику племені Мумбо-Юмбо?

Розв’язання. Одержуємо в мові племені Мумбо-Юмбо слова, що складаються з однієї, двох, трьох і чотирьох букв. Підрахуємо їхню кількість окремо:

однобуквених слів – 3;

слів із двох букв – 32 = 9;

слів із трьох букв – 33 = 27;

слів з чотирьох букв – 81.

Всього 3 + 9 + 27 + 81 = 120 слів.

15. Є 9 кг крупи і гирі в 50 г і 200 г. Необхідно відміряти 2 кг цієї крупи. Яка мінімальна кількість зважувань для цього буде потрібна.

Розв’язання: три.

Перше зважування

Поділити порівну на кожну шальку терезів

На одній шальці маємо 4 кг. 500 г.

Друге зважування

Поділити вміст однієї шальки порівну на кожну шальку терезів

На одній шальці терезів маємо 2 кг. 250 г.

Третє зважування

Від вмісту однієї шальки терезів з допомогою гирьок відміряти 250 г.

Залишається 2 кг.


Урок 4


Тема: Перестановки з n елементів.

Мета: засвоєння учнями поняття перестановки та формули її знаходження, вчити помічати закономірності, використовувати аналогію, виділяти істотні зв’язки.

Обладнання: дидактичні матеріали, кодоскоп.


Хід уроку.


  • Перевірка домашнього завдання.

Самостійна робота.

І варіант. Назвемо «симпатичним» число, якщо в його записі беруть участь тільки непарні цифри. Скільки існує чотиризначних «симпатичних» чисел?

Розв’язання: 54 = 625 чотиризначних «симпатичних» чисел.

ІІ варіант. В іншому клубі велосипедисти були ще суєвірні. І тому що число 0 схоже на витягнуте колесо, вирішили відмовитися і від нього й обходитися тільки вісьма цифрами. Скільки членів було в цьому клубі, якщо номера квитків були також тризначними?

Розв’язання: 83 = 512 членів у клубі велосипедистів.


  • Пояснення нового матеріалу

Спочатку класу пропонується проста задача, доступна всім учням: «З цифр 1, 2, 3 скласти всі тризначні числа, щоб цифри не повторювалися». Якщо кілька дітей склали не всі числа, то їм була зроблена допомога: при складанні чисел дотримувати визначеного порядку (спочатку на першому місці поставити 1, далі 2, а потім 3):

1—2—3 2—3—1 3—2—1

1—3—2 2—1—3 3— 1—2

Задача ускладнюється: «З чотирьох елементів а, b, с, d скласти всі набори за зазначеним вище принципом (спочатку на першому місці а, потім b і т.д.). Питання: “Чому задачі розв’язувалися однаково?”, “В чому причина подібності?”.

Учитель підкреслює, що зовнішня подібність є проявом внутрішніх, схованих загальних властивостей. Учням пропонується знайти ці істотні властивості і зв'язки, тобто особливості цих задач і їхнього розв’язання. Колективно встановлюємо, що: а) всі елементи рівноправні, тому породжують однакове скінчене число наборів (множин); б) у набори (множини) входять відразу всі елементи, тому множини можуть відрізнятися лише порядком елементів, тобто множини є впорядкованими.

Водимо термін “перестановка” і його символічний запис. Учням пропонується назвати рід (множину) і характеристичні ознаки (у множину входять усі дані елементи; важливий порядок).



Пригадуємо схему індуктивних умовиводів. Починаємо пошук потрібної формули з розгляду конкретних прикладів. На екран проектується розв’язання задач на обчислення Р1, Р2, P3:


Каталог: method kabinet -> biblioteka.php -> Педагогічний%20досвід%20освітян%20Рівненщини
biblioteka.php -> Гуманістично-психологічний підхід в роботі з дітьми з особливими освітніми потребами
biblioteka.php -> Тематичний інтернет-навігатор
biblioteka.php -> Метод проектів: сутність та умови застосування
Педагогічний%20досвід%20освітян%20Рівненщини -> "Із Кобзарем у серці" (Розвиток інтересу школярів до вивчення життя і творчості Т. Г. Шевченка засобами літературного краєзнавства)
Педагогічний%20досвід%20освітян%20Рівненщини -> Мотиваційна складова еволюції жіночих образів у творчості Т. Г. Шевченка
Педагогічний%20досвід%20освітян%20Рівненщини -> Формування ключових компетентностей школярів у процесі вивчення творчості Т. Г. Шевченка
Педагогічний%20досвід%20освітян%20Рівненщини -> Т. Г. Шевченко: аспекти вивчення творчості в сучасній школі


Поділіться з Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13




База даних захищена авторським правом ©uchika.in.ua 2020
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка