Урок алгебри у 11 класі Тема. Застосування похідної

Мета. Узагальнити й систематизувати знання учнів з теми «Застосування

похідної». Вдосконалювати навички розв’язування завдань на

застосування похідної. Розвивати вміння аналізувати й узагальнювати

матеріал, навички спілкування в групі. Виховувати самостійність,

взаємоповагу, комунікативність.

Очікувані результати. Учні повинні розуміти значення поняття похідної для

опису реальних процесів; застосовувати похідну до дослідження функції

і розв’язувати прикладні задачі.

Обладнання. Записи на дошці, роздавальний матеріал.

І Організаційний етап.

ІІ Повідомлення теми, мети і девізу уроку.

Девіз. «Кожна розв’язана мною задача ставала зразком, що слугував

згодом для розв’язання інших задач».

Рене Декарт

ІІІ Перевірка домашнього завдання.

Зібрати зошити

Знайди помилку:

1. 
   Знайти точки екстремуму функції:
   

D(у) = R;

у' = 6х – 3х² = 3х(2 – х); 6х(2 – х) = 0; х = 3; х = 2; х = 0.

х_min = 0, х_min =3.

2) (х²)' = 5х⁴ ; ( )' = ;

3) ( )' = .

2. Для даних функцій назвати асимптоти (горизонтальну, вертикальну, похилу):

f(x) = = x+4 + ;

f(x) = .

ІІІ. Повторення.

1. 
   Функція f(x) є сталою на інтервалі (a;b), тоді і тільки тоді, коли f ’(x) = 0 усіх точках цього інтервалу.
   
2. 
   Критичні точки функцій, це точки, у яких похідна дорівнює нулю.
   
3. 
   Інтервал (a;b), який містить точку х₀ називають околом точки х₀.
   
4. 
   Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму.
   
5. 
   Кожна точка екстремуму функції є критичною точкою.
   
6. 
   Кожна критична точка є точкою екстремуму.
   
7. 
   Якщо функція f(x) неперервна в точці х₀ і її похідна змінює знак при переході через точку х_0, то х₀ – точка екстремуму функції. Це необхідна умова екстремуму (необхідна f(x)=0 або не існує).
   
8. 
   Якщо в кожній точці інтервалу (a;b), f(x)>0, то функція f(x) зростає на цьому інтервалі.
   
9. 
   Якщо при переході через критичну точку похідна змінює знак з «+» на «-», то точка х₀ є точкою максимуму.
   
10. 
    Щоб знайти проміжки монотонності функції треба: знайти D(f), критичні точки, позначити їх на області визначення та знайти знак похідної на кожному з проміжків.
    
11. 
    f(x) = у = х – вертикальна асимптота.
    
12. 
    f(x) = у = 2 – похила асимптота.
    

Деякі учні записують розв’язки на дошці.

IV. Розв’язування вправ.

Робота в групах.

І – високий рівень,

ІІ і ІІІ – достатній рівень,

IV і V – середній рівень,

VI і VII- початковий рівень.

VI і VII групи виконують задачу за зразком (на картках)

IV і V групи виконують подібні до тієї, що розв’язували у загальному

вигляді №2.

ІІІ група - №3 (підказка S = Sкв + 4Sпрямокутника)

ІІ група - №5;

І група - №6.

Після група представляє розв’язок.

№1. З круглої колоди вирізають брус с прямокутним перерізом найбільшої площі. Знайти розміри перерізу брусу, якщо радіус перерізу колоди 20 см.

Розв’язання.

ВD = 40 см; АВ = х см;

АD =

S(x) = x f(x)= S²(x) = x²(1600 - х²) = 1600х² - х⁴;

f(x) =3200x - 4x³;

3200x - 4x³ = 0; 4x(800 - x²) = 0; x = 0; x = 20;

на проміжку (0; 40); х=20 28 см.

№2 . На прямому березі річки треба відгородити прямокутну ділянку з трьох боків. Є матеріал для огорожі завдовжки 400м. як відгородити ділянку найбільшої площі?

Розв’язання.

S(x) = x(400 - 2x) = 400x - 2x²; S`(x) = 400 - 4x; x = 100. Отже, одна сторона 200м, а дві по 100м.

№3 Визначити розміри відкритого басейну з квадратним дном V=32³,

щоб на облицювання стін і дна було витрачено найменшу кількість матеріалу.

Розв’язання.

2х - х³ – 64 = 0; х = 4.

№4 Є квадратний лист заліза з стороною 12дм. Треба в кожному куті його відрізати такі квадрати, щоб після зшивання країв отримати ящик найбільшої місткості. Яка сторона відрізаного квадрату?

Розв’язання

Нехай х – довжина сторони такого квадрата. Тоді висота коробки дорівнює х, а сторона основи 12 – 2х. Об’єм коробки V(x) = (12 - 2x)² x – функція від х. [0;6]; V(x) = 144x – 48x² +4х³;

V(x) = 144 – 96x + 12x²;

12 – 8x + x² = 0;

x₁ = 6; x₂ = 2.

При х < 2 V`(x) >0; при x > 2, V`(x) < 0; x = 2 – точка максимуму.

Відповідь: 2 дм.

№5 Розв′язати рівняння = х² – 4х + 6;

f(x) =; g(x) = х² – 4х + 6 = (x - 2)² + 2;

D(f) = [1;3],

f `(x) = - ;

f ` (x) = 0; x=2.

Після того як учні виконають завдання, вправа «навчаючи вчусь». Один представник від групи іде в іншу групу і пояснює розв’язок свого завдання.

№6 Розв’язок нерівності пояснює учень, у якого було випереджаюче завдання.

> х - при х ( 0; ). Коментар у підручникуЄ.П.Нелін, О.Є.Долгова. Алгебра і початки аналізу. 11 клас.

V. Історична довідка. (повідомлення учня).

VI. Додому: дослідити функцію і побудувати графік:

f(x) = -x³ + 3x – 2, стр. 150 – 151, тести.