Урок алгебри у 11 класі
Тема. Застосування похідної.
Мета. Узагальнити й систематизувати знання учнів з теми «Застосування
похідної». Вдосконалювати навички розв’язування завдань на
застосування похідної. Розвивати вміння аналізувати й узагальнювати
матеріал, навички спілкування в групі. Виховувати самостійність,
взаємоповагу, комунікативність.
Очікувані результати. Учні повинні розуміти значення поняття похідної для
опису реальних процесів; застосовувати похідну до дослідження функції
і розв’язувати прикладні задачі.
Обладнання. Записи на дошці, роздавальний матеріал.
Хід уроку.
І Організаційний етап.
ІІ Повідомлення теми, мети і девізу уроку.
Девіз. «Кожна розв’язана мною задача ставала зразком, що слугував
згодом для розв’язання інших задач».
Рене Декарт
ІІІ Перевірка домашнього завдання.
Зібрати зошити
Знайди помилку:
Знайти точки екстремуму функції:
а) у = 3х² – х³;
D(у) = R;
у' = 6х – 3х² = 3х(2 – х); 6х(2 – х) = 0; х = 3; х = 2; х = 0.
хmin = 0, хmin =3.
2) (х²)' = 5х4 ; ( )' = ;
3) ( )' = .
2. Для даних функцій назвати асимптоти (горизонтальну, вертикальну, похилу):
f(x) = = x+4 + ;
f(x) = .
ІІІ. Повторення.
Графічний диктант
Функція f(x) є сталою на інтервалі (a;b), тоді і тільки тоді, коли f ’(x) = 0 усіх точках цього інтервалу.
Критичні точки функцій, це точки, у яких похідна дорівнює нулю.
Інтервал (a;b), який містить точку х0 називають околом точки х0.
Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму.
Кожна точка екстремуму функції є критичною точкою.
Кожна критична точка є точкою екстремуму.
Якщо функція f(x) неперервна в точці х0 і її похідна змінює знак при переході через точку х0, то х0 – точка екстремуму функції. Це необхідна умова екстремуму (необхідна f(x)=0 або не існує).
Якщо в кожній точці інтервалу (a;b), f(x)>0, то функція f(x) зростає на цьому інтервалі.
Якщо при переході через критичну точку похідна змінює знак з «+» на «-», то точка х0 є точкою максимуму.
Щоб знайти проміжки монотонності функції треба: знайти D(f), критичні точки, позначити їх на області визначення та знайти знак похідної на кожному з проміжків.
f(x) = у = х – вертикальна асимптота.
f(x) = у = 2 – похила асимптота.
Деякі учні записують розв’язки на дошці.
IV. Розв’язування вправ.
Робота в групах.
І – високий рівень,
ІІ і ІІІ – достатній рівень,
IV і V – середній рівень,
VI і VII- початковий рівень.
VI і VII групи виконують задачу за зразком (на картках)
IV і V групи виконують подібні до тієї, що розв’язували у загальному
вигляді №2.
ІІІ група - №3 (підказка S = Sкв + 4Sпрямокутника)
ІІ група - №5;
І група - №6.
Після група представляє розв’язок.
№1. З круглої колоди вирізають брус с прямокутним перерізом найбільшої площі. Знайти розміри перерізу брусу, якщо радіус перерізу колоди 20 см.
Розв’язання.
ВD = 40 см; АВ = х см;
АD =
S(x) = x f(x)= S2(x) = x2(1600 - х2) = 1600х2 - х4;
f(x) =3200x - 4x3;
3200x - 4x3 = 0; 4x(800 - x2) = 0; x = 0; x = 20 ;
на проміжку (0; 40); х=20 28 см.
№2 . На прямому березі річки треба відгородити прямокутну ділянку з трьох боків. Є матеріал для огорожі завдовжки 400м. як відгородити ділянку найбільшої площі?
Розв’язання.
S(x) = x(400 - 2x) = 400x - 2x2; S`(x) = 400 - 4x; x = 100. Отже, одна сторона 200м, а дві по 100м.
№3 Визначити розміри відкритого басейну з квадратним дном V=323,
щоб на облицювання стін і дна було витрачено найменшу кількість матеріалу.
Розв’язання.
Х > 0; х м – сторона квадрата, тоді висота басейну .
S= Sкв + 4Sпр. = х2 + = х2 + S`(x) = 2x - ;
2х - х3 – 64 = 0; х = 4.
№4 Є квадратний лист заліза з стороною 12дм. Треба в кожному куті його відрізати такі квадрати, щоб після зшивання країв отримати ящик найбільшої місткості. Яка сторона відрізаного квадрату?
Розв’язання
Нехай х – довжина сторони такого квадрата. Тоді висота коробки дорівнює х, а сторона основи 12 – 2х. Об’єм коробки V(x) = (12 - 2x)2 x – функція від х. [0;6]; V(x) = 144x – 48x2 +4х3;
V(x) = 144 – 96x + 12x2;
12 – 8x + x2 = 0;
x1 = 6; x2 = 2.
При х < 2 V`(x) >0; при x > 2, V`(x) < 0; x = 2 – точка максимуму.
Відповідь: 2 дм.
№5 Розв′язати рівняння = х2 – 4х + 6;
f(x) = ; g(x) = х2 – 4х + 6 = (x - 2)2 + 2 ;
D(f) = [1;3],
f `(x) = - ;
f ` (x) = 0; x=2.
Після того як учні виконають завдання, вправа «навчаючи вчусь». Один представник від групи іде в іншу групу і пояснює розв’язок свого завдання.
№6 Розв’язок нерівності пояснює учень, у якого було випереджаюче завдання.
> х - при х ( 0; ). Коментар у підручникуЄ.П.Нелін, О.Є.Долгова. Алгебра і початки аналізу. 11 клас.
V. Історична довідка. (повідомлення учня).
VI. Додому: дослідити функцію і побудувати графік:
f(x) = -x3 + 3x – 2, стр. 150 – 151, тести.
Підсумок уроку.
Здали зошити.
Поділіться з Вашими друзьями: |